3.1 第1课时　等比数列的概念与通项公式（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

§3　等比数列 3．1　等比数列的概念及其通项公式 [课标解读]　1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．2．体会等比数列与指数函数的关系．3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 第1课时　等比数列的概念与通项公式 知识点一　等比数列 　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比．通常用字母q表示(q≠0)． [点拨]　(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； (2)“每一项与它的前一项的比值”不可理解为“每相邻两项的比值”； (3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝或q＝．特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列． 已知数列为等差数列，a1＝3，d＝2，证明：数列为等比数列． 证明：　因为数列为等差数列，a1＝3，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，所以4an＝42n＋1， 所以＝4an＋1－an＝42(n＋1)＋1－(2n＋1)＝42＝16， 所以数列是以16为公比，64为首项的等比数列． 定义法是最常用的证明方法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2，n∈N＋){an}为等比数列．　　 即时练1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列． 证明：　∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝an－an＋1， ∴an＋1＝an，又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0， ∴an≠0(n∈N＋)， ∴＝， ∴{an}是以1为首项，为公比的等比数列． 学生用书第16页 知识点二　等比数列的通项公式 　若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． [点拨]　等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，可改写为an＝·qn．当q>0且q≠1时，这是指数型函数． 应用一　求等比数列的通项公式 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式． 解析：　设等比数列{an}的公比为q，则q≠0， a2＝＝，a4＝a3q＝2q， ∴＋2q＝，解得q＝或q＝3． 当q＝时，a1＝18，此时an＝18×＝2×33－n； 当q＝3时，a1＝，此时an＝×3n－1＝2×3n－3． 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 即时练2．在等比数列中， (1)已知a4＝4，a9＝972，求an； (2)已知a2＝－6，a6＝－，求an． 解析：　(1)设等比数列的公比为q，则q5＝＝243， 故q＝3，an＝a4·qn－4＝4×3n－4． (2)设等比数列的公比为q，则q4＝＝， 故q＝或q＝－， ∴an＝－6×或an＝－6×． 应用二　等比数列通项公式的应用 (1)等比数列{an}的首项a1＝1，公比q≠1，如果a1，a2，a3依次是等差数列的第1，2，5项，则q为(　　) A．2 B．3 C．－3 D．3或－3 (2)在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n． 解析：　(1)设等差数列为{bn}，公差为d，则b1＝a1＝1，b2＝a2＝1＋d，b5＝a3＝1＋4d，由题设知a＝a1a3，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)， ∴d＝2或d＝0(与q≠1矛盾舍去)， ∴b2＝3，公比q＝＝＝3． (2)方法一：设公比为q，由题意，得 由得q＝， ∴a1＝32． 又an＝1，∴32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6． 方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝． 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32． 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6． 答案：　(1)B 1．a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出． 2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另外一个． 3．在通项公式的有关应用中，要注意函数与方程及整体代换思想的应用．　　 即时练3．已知数列是各项均为正数的等比数列，若a3－a1＝12，a5－a3＝48，则公比q＝(　　) A．－2 B．2 C．2或－2 D．4 B　[设等比数列的公比为q，∵其各项均为正数，故q＞0， ∵a5－a3＝48，∴q2＝48，又∵a3－a1＝12，∴q2＝4，则q＝2．故选B．] 即时练4．已知等比数列是非常数数列，且a1＋a2＝3，a3＝，则a5＝______．