3.1 第2课时　等比数列的性质及应用（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

第2课时　等比数列的性质及应用 知识点一　等比数列的增减性 a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 {an}的单调性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 (1)已知为等比数列，则“a1<a2”是“为递增数列”的________条件．(　　) A．必要而不充分　　　　 B．充分而不必要 C．既不充分也不必要 D．充要 (2)下列说法正确的是______．(填序号) ①数列an＝4n图象上的点都在函数y＝4x的图象上； ②数列an＝4n的图象与函数y＝4x的图象相同； ③函数y＝4x图象上存在满足数列通项公式an＝4n的点； ④数列an＝4n图象上可能存在不满足函数关系式y＝4x的点． 解析：　(1)当公比q<0且a1<0时，a2＝a1q>0，a3＝a1q2<0，此时a1<a2，a2>a3，不递增，充分性不成立；当等比数列为递增数列时，a1<a2，显然必要性成立． 综上所述：“a1<a2”是“为递增数列”的必要而不充分条件．故选A． (2)根据等比数列与指数型函数的关系知，数列an＝4n图象上的点都在函数y＝4x的图象上，故①正确；数列an＝4n的图象是一系列分散在函数y＝4x的图象上的点，所以函数y＝4x图象上存在满足数列通项公式an＝4n的点，故③正确，②④错误． 答案：　(1)A　(2)①③ 1．等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝·qn，设c＝，则an＝c·qn．当q>0，且q≠1时，y＝c·qx(c≠0)是一个指数型函数，此时，等比数列{an}的图象是函数y＝c·qx的图象上的一群孤立的点． 2．等比数列{an}中，当公比q<0时，各项符号正负相间，该数列无单调性；当公比q＝1时，该数列为常数列；当q>0且q≠1时，该数列才具有单调性． 3．等比数列{an}中，所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同，一定要注意此规律． 即时练1．在单调递减的等比数列中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　) A．9　　　 B．3　　　　 C．　　 D． A　[设等比数列的公比为q，则由a3＝1，a2＋a4＝，得q＋＝，解得q＝或q＝3，又单调递减，故q＝，a1＝＝9．故选A．] 即时练2．已知等比数列的公比为q．若为递增数列且a1<0，则(　　) A．q<－1 B．－1<q<0 C．0<q<1 D．q>1 C　[由题意得，an＝a1qn－1，又a1<0，∴要使为递增数列，则q>0， 当0<q<1时，为递增数列，符合题设； 当q>1时，为递减数列，不符合题设．故选C．] 知识点二　等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±．我们称G为a，b的等比中项． [点拨]　(1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1，则an是an＋1与an－1的等比中项．由此可得等比数列的第二种判定方法——等比中项法，即判断＝(n≥2)是否成立． (2)“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0，0，1不成等比数列．因此“a，G，b成等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件． 学生用书第19页 (1)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________； (2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 解析：　(1)因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1，因为b>0，所以b＝1． (2)证明：因为b是a，c的等比中项， 所以b2＝ac，且a，b，c均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， 所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)， 即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 答案：　(1)1 1．由等比中项的定义可知＝G2＝abG＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． 2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项，即a＝an·an＋2． 3．a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．这是证明三个数成等比数列的一种常用方法．　　 即时练3．若3与13的等差中项是4与m的等比中项，则m＝(　　) A．12　　　 B．16　　　　 C．8　　 D．20 B　[3与13的等差中项为8，所以