3.2 第1课时　等比数列的前n项和（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

3．2　等比数列的前n项和 [课标解读]　1．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．2．能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 第1课时　等比数列的前n项和 知识点　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝ [点拨]　(1)等比数列前n项和公式及通项公式中共有五个量a1，q，an，n，Sn，这五个量可“知三求二”． (2)利用等比数列的前n项和公式求和时，要特别注意公比q的取值，应分q＝1和q≠1两种情况，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论． 应用一　等比数列前n项和基本运算 (1)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________． (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn． 解析：　(1)∵a3＋a5＝q(a2＋a4)， ∴40＝20q，∴q＝2， ∵a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2， ∴Sn＝＝2n＋1－2． (2)设{an}的公比为q，由题设得 解得或 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)； 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1． 答案：　(1)2　2n＋1－2 等比数列前n项和公式的应用 (1)熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，运用方程的思想，求出基本量a1和q，然后求出其他量，是解这类题的常用方法． (2)已知an时用Sn＝较简便，而Sn＝在将已知量表示为最基本元素a1和q的表达式中发挥着重要作用．　　 即时练1．已知在等比数列中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝(　　) A．9　　　 B．8　　　　 C．7　　 D．6 D　[因为a1＝2，q＝2，所以Sn＝＝2n＋1－2＝126，所以n＝6．故选D．] 即时练2．等比数列的前n项和为Sn，若a2＝3，S3＝13，则a3＝___________． 解析：　设等比数列的公比为q，因为a2＝3，S3＝13，所以q≠1， 则解得q＝或3， 又a3＝a2q，所以a3＝1或9． 答案：　1或9 应用二　等比数列前n项和的实际应用 某地区为完成国家退耕还林计划，截止到2019年年底还需要退耕还林的土地面积为6 370万亩，2020年该地区退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增． (1)试问到哪一年年底该地区才能完成退耕还林计划？(结果精确到1年)(参考数据：1．128≈2．476，1．127≈2．211) 学生用书第22页 (2)为支持退耕还林工作，国家财政从2021年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0．7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：该地区完成退耕还林计划时，国家财政共需补助多少亿元？(精确到1亿元) 解析：　(1)设从2021年起，每年退耕还林的土地面积(单位：万亩)依次为a1，a2，a3，…，an，…， 则a1＝515×，a2＝515×，…，an＝515×， 则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝6 370－515， 即515×1．12×＝5 855×0．12， 解得1．12n≈2．218．又因为n∈N＋，当n＝7时， 1．127≈2．211，此时完不成退耕还林计划，所以n＝8． 故到2028年年底该地区才能完成退耕还林计划． (2)设国家财政共需补助W亿元， 则W＝××10－4≈135， 所以完成退耕还林计划时，国家财政共需补助135亿元． 解答数列应用问题的方法 (1)判断、建立数列模型 ①变化“量”是同一个常数：等差数列； ②变化“率”是同一个常数：等比数列． (2)提取基本量 从条件中提取相应数列的基本量a1，q(d)，n，an，Sn，列出方程(组)求解．　　 即时练3．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2020年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%． (1)以2020年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2020年最多出口多少吨？(0．910≈0．35，保留一位小数) 解析：　(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0．9， ∴an＝a·0．9n－1． (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0．910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0．910)≤80， 即a≤， ∴a≤12．3．故2020年最多出口12．3吨． 1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a4＋a5＝27，则{an}的前5项和为(　　) A．29