3.2 第2课时　等比数列前n项和习题课（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

第2课时　等比数列前n项和习题课 综合应用一　等比数列前n项和公式与函数关系 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝λ·3n－1－1(λ∈R)，则＝(　　) A．　　　 B．3　　　　 C．6　　 D．9 D　[方法一：Sn＝λ·3n－1－1＝·3n－1， 所以＝1，λ＝3且q＝3， 又a1＝S1＝3·31－1－1＝2， 所以＝＝9． 方法二：等比数列{an}满足Sn＝λ·3n－1－1， 当n＝1时，a1＝S1＝λ－1， 又a2＝S2－S1＝(3λ－1)－(λ－1)＝2λ， a3＝S3－S2＝(9λ－1)－(3λ－1)＝6λ， 则有6λ×(λ－1)＝(2λ)2，公比q＝＝3， 解可得λ＝3或0(舍)，首项a1＝2，公比q＝＝3， 则＝＝9．] (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A．由此可见，当公比q≠1时，等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数式与一个常数的和，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q＝1时，Sn＝na1． (2)当q≠1时，点(n，Sn)是函数y＝－Aqx＋A图象上的一些孤立的点． 当q＝1时，点(n，Sn)是正比例函数y＝a1x图象上的一些孤立的点．　　 即时练1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________． 解析：　由数列{an}的前n项和Sn＝3n－1＋t(n∈N＋)，得 当n＝1时，a1＝S1＝1＋t； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1＋t－(3n－2＋t)＝2×3n－2＝×3n－1． 所以a2＝2，a3＝6，q＝＝＝3， a1＝＝，即1＋t＝，t＝－． 答案：　－ 综合应用二　等比数列前n项和Sn的性质 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　) A．2 B． C． D．3 (2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则该数列的通项公式为______________． 解析：　(1)方法一：因为数列{an}是等比数列，设公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2． 于是＝＝＝． 方法二：由＝3，得S6＝3S3． 因为数列{an}是等比数列，且由题意知公比不为－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列， 所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S9＝7S3． 又＝3，所以＝． (2)设数列{an}的公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶， 由题意可知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． 因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝＝． 又因为a1·a1q·a1q2＝64， 所以a·q3＝64，解得a1＝12， 故所求通项公式为an＝12×． 答案：　(1)B　(2)an＝12× (1)项的个数的“奇偶”性质：在等比数列{an}中，公比为q，S奇，S偶分别表示所有奇数项的和与所有偶数项的和． 若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q． (2)“片断和”性质：在等比数列{an}中，公比为q(q≠－1或q＝－1且m为奇数)，前m项和为Sm，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与之后依次m项的和构成等比数列(注意连续m项的和必须不为0)． 即时练2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝(　　) A．－51 B．－20 C．27 D．40 D　[由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13， 所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列， 即1，S20－1，13－S20，S40－13构成等比数列， ∴(S20－1)2＝1×(13－S20)，解得S20＝4或S20＝－3(舍去)， ∴(13－S20)2＝(S20－1)(S40－13)，即92＝3×(S40－13)，解得S40＝40．故选D．] 即时练3．已知等比数列的前10项中，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为______． 解析：　设等比数列的公比为q，等比数列的前10项中，所有奇数项的和为S奇，所有偶数项的和为S偶， 则S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝q(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝qS奇，所以q＝＝＝2， 又S奇＝＝＝341a1＝，则a1＝， 因此，S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3＝a1q2·＝585． 答案：　585 综合应用三　错位相减法求和 已知等比数列{an}的公比