1.1　数列的概念（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

§1　数列的概念及其函数特性 [课标解读]　1．通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是一种特殊函数． 1．1　数列的概念 知识点一　数列的概念 1．定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． 2．项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． 3．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项． 4．数列的分类：项数有限的数列，称为有穷数列；项数无限的数列，称为无穷数列． [点拨]　(1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的． (2)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项． (1)下列说法中正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为1＋ D．数列{an}与an是相同的 (2)给出下列数列：①2014～2021年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…． 其中，无穷数列是________，有穷数列是________． 解析：　(1)对于A，{1，3，5，7}是一个集合，故A错误； 对于B，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故B错误； 对于C，an＝ak＝＝1＋，故C正确； 对于D，数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项，故D错误．故选C． (2)①数列项数有限为有穷数列；②③数列项数无限是无穷数列． 答案：　(1)C　(2)②③　① 数列分类的判断方法 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．　　 即时练1．下列各项表示数列的是(　　) A．△，○，☆，□ B．2 008，2 009，2 010，…，2 022 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D．a＋b，a－b，a·b，λa B　[数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合．故选B．] 即时练2．有下列命题： ①数列1，2，3与数列3，2，1是两个不同的数列； ②用集合{1，2，3}中的所有元素只能构造出6个不同的数列； ③集合{x|x＝2n(n∈N＋)}可以表示由正偶数按从小到大的次序排列所得到的数列． 其中假命题有(　　) A．0个　　 B．1个　　　C．2个　 D．3个 C　[由数列的概念可知，按一定次序排列的一列数称为数列，数列1，2，3与数列3，2，1次序不同，是两个不同的数列，所以①正确； 用集合{1，2，3}中的所有元素能构造出无数个不同的数列，比如，1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；1，1，2，3，…，所以②错误； 因为集合{x|x＝2n(n∈N＋)}中的元素是无序的，所以不能表示由正偶数按从小到大的次序排列所得到的数列，③错误．故选C．] 学生用书第2页 知识点二　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式． [点拨]　(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}为定义域的函数解析式． (2)有的数列通项公式不存在，如数列3．14，3．141，3．142，…．就不存在通项公式． 应用一　根据数列的前几项写出数列的通项公式 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出． (1)，，，，…； (2)－，，－，，…； (3)0．9，0．99，0．999，0．999 9，…． 解析：　(1)该数列第1，2，3，4项的分母分别为2，3，4，5，恰比项数多1． 分子中的22，32，42，52恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为an＝． (2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子(－1)n，分子均为1不变，分母2，6，12，20可分解为1×2，2×3，3×4，4×5， 则它的一个通项公式为an＝(－1)n×． (3)0．9＝1－0．1，0．99＝1－0．01， 0．999＝1－0．001，0