1.2　数列的函数特性（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

1．2　数列的函数特性 知识点　数列的单调性 1．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列． 2．一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列． 3．如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． [点拨]　如果一个数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列通常叫作摆动数列． 应用一　数列的图象及应用 已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增减性． 解析：　图象如图所示，在该数列中，从a1到a4递减，从a5到an递减，但a1<a5，因此数列{an}既不是递增数列，也不是递减数列． 利用数列的图象判断数列的增减性 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．　　 即时练1．已知数列的通项公式为an＝＋2，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性． 解析：　由题可知，数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，n∈N＋， ∴a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，…， 则数列{an}的图象如图所示，所以该数列既不是递增数列，也不是递减数列． 学生用书第4页 应用二　数列增减性的判断 已知函数f(x)＝，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)，其中n∈N＋． (1)求证：1≤an<2； (2)判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由． 解析：　(1)证明：由题意得an＝＝2－， 因为n为正整数， 所以n≥1，0<≤1，1≤2－<2，所以1≤an<2． (2){an}是递增数列． 证明：an＝＝2－，an＋1－an＝－＝>0，所以{an}是递增数列． 应用函数单调性判断数列增减性的方法 (1)作差法，将an＋1－an与0进行比较； (2)作商法，将与1进行比较(在作商时，要注意an<0还是an>0)．　　 即时练2．写出数列1，，，，，…的通项公式，并判断它的增减性． 解析：　该数列的通项公式为an＝， ∴an＋1－an＝－ ＝． ∵n∈N＋，∴(3n＋1)(3n－2)>0，∴an＋1－an<0， ∴an＋1<an，∴该数列为递减数列． 应用三　数列的最大(小)项 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 解析：　方法一：假设数列{an}中存在最大项． ∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an． 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 所以数列{an}中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝． 方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第k项为最大项， 则对任意的k∈N＋且k≥2都成立． 即 ∴ 解得9≤k≤10． 又k∈N＋， ∴数列{an}中存在最大项是第9项和第10项， 且a9＝a10＝． 求数列中的最大(最小)项问题的两种方法 (1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． (2)利用(n≥2)求数列中的最大项an，利用(n≥2)求数列中的最小项an．当解不唯一时，比较各解大小即可确定．　　 即时练3．已知数列{an}的通项公式为an＝． (1)问0．25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由． (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 解析：　(1)是，令an＝＝0．25，即＝，解得n＝17，∴0．25是数列{an}的项，是第17项． (2)由题可得， an＋1－an＝－＝ ＝， ∵n∈N＋，∴n＋51>0，n＋52>0，即an＋1－an>0， 可得数列{an}是递增数列，则最小项为首项，即a1＝＝，无最大项． 根据数列的单调性求参数 利用数列的单调性确定变量的取值范围，解决此类问题常用以下等价关系： 数列{an}递增an＋1＞an(n∈N＋)，数列{an}递减an＋1＜an(n∈N＋)，进而转化为不等式恒成立问题，通过分离变量转化为求代数式的最值问题来解决，或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围．另外，在解决问题时，勿忘n∈N＋这个条件，即n∈Z且n≥1． 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，求实数k的取值范围． 解析：　因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N＋，an＋1－an＝<0，所以k>3－3n对任意n∈N＋恒成立，所以k∈(0，＋∞)． 学生用书第5页 即时练4