2.1 第1课时　等差数列的概念与通项公式（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

§2　等差数列 [课标解读]　1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．体会等差数列与一次函数的关系．3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相关的问题． 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念与通项公式 知识点一　等差数列 　对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列．称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示． [点拨]　(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 学生用书第6页 (1)判断下列数列是否为等差数列，并说明理由． ①an＝3n＋2；②an＝n2＋n． (2)已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝．数列是否为等差数列？说明理由． 解析：　(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)， 由n的任意性知，这个数列为等差数列． ②an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是一个常数，所以这个数列不是等差数列． (2)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝， ∴＝＝＋， ∴－＝， 即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． 利用定义法判断一个数列是不是等差数列时，关键看an＋1－an得到的结果是不是一个与n无关的常数．若是，则该数列为等差数列；若不是，则该数列不是等差数列．也可通过验证数列的通项an是否满足an＋1－an＝an－an－1(n∈N＋，n≥2)来判断该数列是不是等差数列．　　 即时练1．已知数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N＋)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列 B．数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列 C．数列{an}是以－3为首项，3为公差的等差数列 D．数列{an}是以－3为首项，－3为公差的等差数列 B　[ 因为数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N＋)，即an＋1－an＝－3(n∈N＋)， 所以数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列．故选B．] 即时练2．已知数列{an}中，a1＝3，an＝2－(n≥2，n∈N＋)．设bn＝(n∈N＋)． 求证：数列{bn}是等差数列． 证明：　当n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝＝1， 所以{bn}是等差数列，且首项b1＝＝＝，公差为1． 知识点二　等差数列的通项公式 　若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． [点拨]　等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中有4个量an，a1，n，d，在这4个量中可以“知三求一”． (1)等差数列－3，1，5，9，…的通项公式an＝(　　) A．1－4n　　　　　　 B．4n－7 C．n2－4n D．n－4 (2)已知等差数列{an}中，a3＝7，a7＝3，则数列{an}的通项公式是____________． 解析：　(1)根据题意可知等差数列的首项a1＝－3，公差d＝4， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋4(n－1)＝4n－7．故选B． (2)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得：解得： 所以an＝a1＋(n－1)d＝10－n．故an＝10－n． 答案：　(1)B　(2)an＝10－n 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．　　 即时练3．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，d＝3，n＝10，则an＝(　　) A．27 B．29 C．32 D．35 B　[因为数列{an}是等差数列，且a1＝2，d＝3, 故可得an＝3n－1， 当n＝10时，an＝a10＝29．故选B．] 即时练4．已知－5，－1，3，…是等差数列，则其第16项的值是____________． 解析：　由题意得等差数列的通项为an＝－5＋(n－1)×4＝4n－9， 所以a16＝4×16－9＝64－9＝55． 答案：　55 学生用书第7页 等差数列中常见的设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d