2.1 第2课时　等差数列的性质（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

第2课时　等差数列的性质 知识点一　等差数列的图象与增减性 1．等差数列的图象 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，它是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d． 2．等差数列的增减性 对于an＝dn＋(a1－d)， ①当d>0时，数列{an}为递增数列； ②当d<0时，数列{an}为递减数列； ③当d＝0时，数列{an}为常数列． 若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________． 解析：　方法一：设{an}的公差为d， ∵ap＝aq＋(p－q)d， ∴q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d． ∵p≠q，∴d＝－1． ∴ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0． 方法二：∵数列{an}为等差数列， ∴点(n，an)在一条直线上． 不妨设p＜q，记点A(p，q)，B(q，p)，则直线AB的斜率k＝＝－1，如图所示． 由图易知|OC|＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q，0)，故ap＋q＝0． 答案：　0 学生用书第8页 利用一次函数的性质解答等差数列问题的思路 1．等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及到等差数列中的项、过两点的直线的斜率及数列的增减性的问题，利用多点共线可快速求解． 2．若a，b，c成等差数列，公差为d(d≠0)，且(a，l)，(b，m)，(c，n)三点共线，则＝＝k(k为常数)，所以m－l＝n－m＝kd，那么l，m，n成等差数列．反之，若a，b，c和l，m，n两组数都成等差数列，则(a，l)，(b，m)，(c，n)三点必共线．　　 即时练1．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 B　[ 等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2<0， 则直线呈下降趋势，故数列{an}单调递减．故选B．] 即时练2．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，求首项a1和公差d，并作出它的图象． 解析：　∵an＝3n＋1， ∴a1＝3＋1＝4，a2＝3×2＋1＝7，d＝a2－a1＝3． 图象如图所示： 知识点二　等差中项 　如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项． [点拨]　在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，则an是an－1与an＋1的等差中项． 反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N＋均成立，则数列{an}是等差数列． 因此，数列{an}是等差数列2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)．用此结论可判断所给数列是否为等差数列，这种方法称为等差中项法． (1)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　) A．8　　　　　　　　 B．6 C．4．5 D．3 (2)若是与的等差中项，求证：，，成等差数列． 解析：　(1)∵m＋2n＝8，2m＋n＝10， ∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6， ∴m和n的等差中项是＝3．故选D． (2)证明：∵是与的等差中项， ∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)． ∵＋＝ ＝ ＝＝＝， ∴是与的等差中项， ∴，，成等差数列． 答案：　(1)D a，b，c成等差数列的充要条件是b＝(或2b＝a＋c)，可利用此关系进行等差数列的判断或有关等差中项的计算．如要证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．　　 即时练3．设a>0，b>0，若lg a和lg b的等差中项是0，则a＋b的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2 B　[因为lg a和lg b的等差中项是0， 所以lg a＋lg b＝lg (ab)＝0，∴ab＝1， 所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．所以a＋b的最小值为2．故选B．] 即时练4．若，，是等差数列，求证：b2是a2与c2的等差中项． 证明：　由已知得＋＝，通分有＝． 进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)， 整理得a2＋c2＝2b2， 所以b2是a2与c2的等差中项． 学生用书第9页 等差数列的性质 对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法：一是建立基本量a1和d的方程，通过解方程组求解；二是利用等差数列的基本性质求解． 1．等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d(揭示任意两项之间的关系) 2．等差数列的性质 (