2.2 第1课时　等差数列的前n项和公式（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

2．2　等差数列的前n项和 [课标解读]　1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．2．能在具体问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 第1课时　等差数列的前n项和公式 知识点　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 前n项和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [点拨]　(1)等差数列的前n项和公式中，涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，结合通项公式，可求另外两个量，即“知三求二”的方程思想． (2)Sn＝反映了等差数列的前n项和与它的首项、末项之间的关系；Sn＝na1＋d反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”．两者从不同的角度反映了等差数列的性质． 应用一　等差数列前n项和的计算 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝2，a3＋a5＝10，则S6＝(　　) A．26　 　 B．27　 　　 C．28　 D．29 (2)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a13＝10，则S13＝(　　) A．130 B．100 C．80 D．65 (3)已知{an}为等差数列，公差为－2，且a＝a3a9，则前10项和S10＝________． 解析：　(1)因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a1＋2d＋a1＋4d＝10，解得d＝1， 所以S6＝6a1＋×d＝27，故选B． (2)由题意知：S13＝＝65．故选D． (3)依题意，有(a1＋6d)2＝(a1＋2d)(a1＋8d)， 又d＝－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)， 所以a－24a1＋122＝a－20a1＋64，解得a1＝20， 所以S10＝10a1＋d＝10×20－90＝110． 答案：　(1)B　(2)D　(3)110 学生用书第11页 等差数列中的基本计算 (1)等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量Sn，n，a1，an，d，这五个量可以“知三求二”． (2)一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题． (3)等差数列前n项和Sn＝与等差数列性质“若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性． (4)解题时注意整体代换的思想．　　 即时练1．已知等差数列{an}中，a4＋a9＝8，则S12＝(　　) A．96 B．48 C．36 D．24 B　[由等差数列的性质得S12＝×12×(a1＋a12)＝6(a4＋a9)＝48．故选B．] 即时练2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝35，a10＝13，则a7＝________． 解析：　由S7＝×7＝7a4＝35，得a4＝5． 因为a10＝13，所以a7＝＝9． 答案：　9 应用二　等差数列前n项和的性质 (1)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且＝，则＝(　　) A． B． C． D． (2)在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 (3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，试求S110． 解析：　(1)数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且＝，则＝＝＝＝． (2)因为等差数列有2n＋1项，所以S奇＝，S偶＝． 又a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，所以＝＝＝，所以n＝10． (3)方法一：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设公差为d，前10项的和为：10×100＋d＝10，所以d＝－22， 所以前11项的和S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110． 方法二：设等差数列{an}的公差为d， 则＝(n－1)＋a1， 所以数列成等差数列． 所以＝， 即＝， 所以S110＝－110． 方法三：设等差数列{an}的公差为d， S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d， 又S100－10S10＝d－d＝10－10×100， 即100d＝－22，所以S110＝－110． 答案：　(1)C　(2)B 等差数列前n项和的性质 (1)等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也构成等差数列． (2)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Sn′，则=． (3)若等差数列{an