2.2 第2课时　等差数列习题课（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

第2课时　等差数列习题课 综合应用一　由Sn求an 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋2n． (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列． 解析：　(1)因为Sn＝3n2＋2n， 所以当n≥2时，Sn－1＝3(n－1)2＋2(n－1)＝3n2－4n＋1， 所以an＝Sn－Sn－1＝(3n2＋2n)－(3n2－4n＋1)＝6n－1． 又a1＝S1＝5，满足an＝6n－1， 所以数列{an}的通项公式是an＝6n－1． (2)由(1)知，an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6， 所以{an}是等差数列． 由Sn求通项公式an的步骤 第一步：令n＝1，则a1＝S1，求得a1； 第二步：令n≥2，则an＝Sn－Sn－1； 第三步：验证a1与an的关系： (1)若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1． (2)若a1不适合an，则an＝ 即时练1．设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝n2＋2n，则a2 022＝(　　) A．4 045　 B．4 043　　 C．2 023 D．2 025 A　[a2 022＝S2 022－S2 021＝2 0222＋2×2 022－2 0212－2×2 021＝4 045．故选A．] 即时练2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－2，则数列{an}的通项公式为________． 解析：　因为Sn＝2n－2，令n＝1，a1＝S1＝0， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n－2)－(2n－1－2)＝2n－1， 当n＝1时，不符合上式， 所以an＝ 答案：　an＝ 综合应用二　数列{an}的前n项和 等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝－2an＋25，求数列{|bn|}的前n项和． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝4，a4＋a7＝15， 可得解得 则an＝n＋2． (2)bn＝－2an＋25＝21－2n， 则{bn}的前n项和为Sn＝n(19＋21－2n)＝20n－n2， 当n≤10时，bn>0，|bn|＝bn，数列{|bn|}的前n项和为20n－n2； 当n≥11时，bn<0，|bn|＝－bn，数列{|bn|}的前n项和为S10－(Sn－S10)＝2S10－Sn＝200－20n＋n2． 综上可得，数列{|bn|}的前n项和为 Tn＝ 数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略 (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解． (2)等差数列{an}中，a1>0，d<0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理． (3)等差数列{an}中，a1<0，d>0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理．　　 即时练3．在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12．则an＝________；此数列前30项的绝对值之和为________． 解析：　由a1＝－60，a17＝a1＋16d＝－12，得－12＝－60＋16d， ∴d＝3．∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63． 由an≤0，即3n－63≤0n≤21， 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30) ＝(3＋6＋9＋…＋60)＋(3＋6＋…＋27) ＝×20＋×9＝765． 答案：　3n－63　765 综合应用三　裂项相消法求和 等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d． 因为所以 解得a1＝1，d＝． 所以{an}的通项公式为an＝． (2)bn＝＝＝－， 所以Sn＝＋＋…＋ ＝． 裂项相消求和 (1)适用数列：形如(bn－an＝d，d为常数)的数列可以用裂项求和． (2)裂项形式：＝． (3)规律发现：一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形，如分离常数、有理化等；二是裂项后不是相邻项相消的，要写出前两组、后两组，观察消去项、保留项． 学生用书第14页 (4)特殊裂项 ①＝＝． ②＝－ ． ③＝ ． ④＝1＋ ．　　 即时练4．数列，，，…，，…的前n项和为(　　) A． B． C． D． B　[∵＝， ∴Sn＝＋＋…＋＝ ＝＝．故选B．] 即时练5．若数列{an}满足an＝，则数列{an}的前15项和S15＝________． 解析：　因为an＝＝－， 所以S15＝a1＋a2＋…＋a15＝＋＋…＋＝－1＝3． 答案：　3 综合应用四　等差数列的实际应用 2