2.3 第一课时 一元二次不等式及其解法（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2.3　一元二次不等式 第一课时　一元二次不等式及其解法 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.从函数观点看一元二次不等式． 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，会解一元二次不等式． 重点 难点 重点：一元二次不等式的解法． 难点：二次函数与一元二次方程、不等式的联系. (一)一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是的不等式称为一元二次不等式． 一个 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 续表 {x|x<x1或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ 利用相应二次函数的图象求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下： 一元二次不等式，a为正值来定形； 对应方程根求好，心中想想抛物线； 大于异根取两边，小于异根夹中间； 大于等根根去掉，小于等根空集成； 大于无根取全体，小于无根不可能！ [提醒]　“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)． [即时小练] 1．判断正误 (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式． (　　) (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式． (　　) (3)不等式－x2－2x＋3>0是一元二次不等式． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．不等式2x2－x－1>0的解集是________． 3．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________． 答案：∅ 4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为___________． 答案：－2,3 (二)简单的分式不等式的解法 [题点一]　 不含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. [方法技巧]　解一元二次不等式的一般方法和步骤 [对点训练] 解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. 解：(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， 所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． 图1　　　 　　图2　　　　 　　图3 [方法技巧] 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．　　 [题点三] 　含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． [方法技巧] 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． [提醒]　对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．　　 [对点训练] 解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0. 一、在典题训练中内化学科素养 由于一元二次不等式具有较强的基础性和工具性，因此是历年高考的必考点，既可直接考查不等式的解法，又可与集合、二次函数及以后将要学习的分段函数、指数函数、三角函数等相结合考查，一般以中低档难度的题目为主．对于一元二次不等式，重点是把握“三个二次”之间的关系，要强化对数形结合思想的运用意识．提高解含参数的一元二次不等式的熟练程度，把握分类原则．考查数学运算、逻辑推理等核心素养． 1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝ (　　) A．{x|－4<x<3}　　　　 B．{x