2.3 第二课时 一元二次不等式的综合应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

第二课时　一元二次不等式的综合应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.借助二次函数的图象，了解一元二次不 等式与相应函数、方程的联系． 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等 式的过程．了解一元二次不等式的现实 意义． 3.能够构建二次函数模型，解决实际问题． 重点 难点 重点： 一元二次不等式的应用． 难点： 应用一元二次不等式解决实际问题. [题点一] 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 [典例]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 {x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [方法技巧] (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方的部分，满足不等式ax2＋bx＋c>0；图象在x轴下方的部分，满足不等式ax2＋bx＋c<0，一元二次不等式与对应函数、方程之间相互依存、相互转化．　　 2．若关于x的不等式(x＋1)(x－3)<m的解集为{x|0<x<n}，则实数n的值为________． 解析：∵关于x的不等式(x＋1)(x－3)<m的解集为{x|0<x<n}，∴x＝0是方程(x＋1)(x－3)＝m的解， ∴m＝－3，∴原不等式为(x＋1)(x－3)<－3， 即x2－2x<0，解得0<x<2，故不等式的解集为{x|0<x<2}，∴n＝2. 答案：2 [题点二] 一元二次不等式恒成立问题 [典例]　对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围. [拓展] 在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”，其 余不变，求m的取值范围． [方法技巧] 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．　　 [对点训练] 1．若不等式2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，则k的取值范围为 (　　) A．(－8,0) B．(0,8) C．(－∞，－8)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(8，＋∞) 解析：∵2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，∴Δ＝(－k)2－4×2×(－k)＝k2＋8k<0，解得－8<k<0. 答案：A　 2．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,3]恒成立，则实数m的取值范围是 (　　) A．[－3，＋∞) B．[－3,0] C．[－∞，－4] D．(－∞，－3]∪[0，＋∞) 解析：因为不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,3]恒成立，令y＝x2－4x,0≤x≤3，则m≤ymin，因为y＝x2－4x在[0,3]上的最小值为－4，故m≤－4. 答案：C　 [题点三] 一元二次不等式的实际应用 [典例]　如图所示，某学校要在长为8 m，宽为6 m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种植花卉，花卉带的宽度相同，均为x m，中间种植草坪． (1)若中间草坪的面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x是多少？ (2)为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ [方法技巧] 解不等式应用题的步骤 (1)读：阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)建：将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型． (3)解：解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义． (4)答：回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．　　 [对点训练] 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.(已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量) (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加 的比例x应在什么范围内？ 一、在典题训练中内化学科素养 本节重点考查一元二次不等式的应用，考查的核心素养有数学运算与数学建模，多以选择题、填空题的形式出现，在解答题中可能有一小问涉及此知识点． 1． 2. 如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角， AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占 地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地