1.2.3 第一课时 含有量词的命题（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

1.2.3　全称量词和存在量词 第一课时　含有量词的命题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解全称量词、全称命题的意义． 2.理解存在量词、特称命题的意义． 3.判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假． 重点 难点 重点：全称量词和存在量词的意义． 难点：判定全称命题和特称命题的 真假. 1．全称量词和存在量词 命题中的“ ”和“ ”叫作量词，两者分别叫作全称量词和存在量词． 2．全称命题 “任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号 表示．语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称命题．用符号简单地表示为 ． 3．特称命题 “存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“∃”表示．语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作特称命题．用符号简单地表示为 ． 每一个 有一个 ∀ ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 1．对全称命题的理解 (1)从集合的观点看，全称命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题．注意：全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由具体的条件而定． (2)一个全称命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”． (3)全称命题含有全称量词，有些全称命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来．例如命题“平行四边形的对角线相互平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线相互平分”． 2．对特称命题的理解 (1)从集合的观点看，特称命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题． (2)含有存在量词的命题，不管包括的程度多大，都是特称命题． (3)一个特称命题可以包括多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”． (4)含有存在量词“存在”“有一个”等命题，或虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是特称命题． [即时小练] 1．下列语句中，是全称命题的是________，是特称命题的是________．(填序号) ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形： ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有有理数都是实数吗？ 答案：①②③　④ 2．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”) 答案：特称命题　假 [题点一] 全称命题与特称命题的识别 [典例]　 判断下列命题是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin∠A＝cos∠B. [解]　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． [方法技巧] 判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．　　 [对点训练] 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 解：(1)全称命题．表示为∀n∈N，n2≥0. (2)特称命题．∃一次函数，它的图象过原点． (3)全称命题．∀二次函数，它的图象的开口都向上． [题点二] 全称命题与特称命题的真假判断 [典例]　试判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋1≥2; (2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点； (3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6. [解]　(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题． (2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题． (3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，所以该命题为真命题． [方法技巧]　判断全称命题、特称命题真假的思路 [对点训练] 判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (3)∀x∈N，x2>0.　 解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (3)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． [题点三] 根据含量词命题的真