3.1.3 简单的分段函数（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

3．1.3　简单的分段函数 知结构体系 课标 要求 1.通过实例了解简单的分段函数． 2．掌握分段函数的应用． 重点 难点 重点：分段函数的概念及应用． 难点：分段函数的实际应用. 1．分段函数的定义 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫做分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的_____；各段函数的定义域的交集是_____． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象． 并集 空集 13 答案：C　 解析：∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3. 3． 4． 5． ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价（十八）” (单击进入电子文档) 36 4．几种常见的分段函数 (1)取整函数：f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)． (2)符号函数：f(x)＝sgn x＝ (3)含绝对值符号的函数：如f(x)＝|x－1|＝ (4)自定义函数：如f(x)＝ (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段仅仅是用了不同的表达式． (2)求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪个区间，就只能用哪个区间上的解析式来进行计算． (3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集． (4)分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合取并集；分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值，然后比较各段的最大(小)值，其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值． [即时小练] 1．已知函数f(x)＝则f(2)＝______. 解析：f(2)＝＝1. 答案：1 2．设函数f(x)＝则f ＝________. 解析：因为x＞1时，f(x)＝x2＋x－2， 所以f(2)＝22＋2－2＝4，＝. 又x≤1时，f(x)＝1－x2， 所以f ＝f ＝1－2＝. 答案： 分段函数的图象 [典例]　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)当0≤x≤2时， f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时， f(x)＝1＋＝1－x， 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． [方法技巧] 1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式． (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心圈．　 [对点训练] 　已知函数f＝画出函数的图象并求出函数f 在区间上的值域． 解：画出函数f(x)的图象如图所示． ∵f(0)＝2，f(1)＝1，f(4)＝16，观察函数f(x)的图象可知，函数f(x)在区间[0,4)上的值域为[1,16)． [题点二] 分段函数求值 [典例]　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(1)，f ； (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]， 1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]， 知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8， f＝f ＝f ＝3×＋5＝. (2)因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0， 解得a≥1或a≤－， 即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)． [拓展] 本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围． 解：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x， 即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是{x|x<2}． 分段函数值有关问题的常见解法 (1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该区间对应的解析式求值．当出现f