3.3.1 从函数观点看一元二次方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

3．3.1　从函数观点看一元二次方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解二次函数的零点与一元二次方程的根之间的关系． 2.会解决一元二次方程根的分布问题． 重点 难点 重点：二次函数与二次方程的关系． 难点： 一元二次方程根的分布. 自变量x 零点 横坐标 续表 答案：C 答案：B 解析：选项A中的图象与x轴没有交点，则选项A中的图象表示的函数没有零点；选项B中的图象与x轴有一个交点，则选项B中的图象表示 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十二） (单击进入电子文档) 30 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时________的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的_______，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的______． 2．当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1,2＝ 有两个相等的 实数根x1＝ x2＝______ 没有 实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 － 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 __________________ 有一个零点 __________ 无零点 x1,2＝ x＝－ (1)函数的零点是实数，而不是点． (2)并不是所有的二次函数都有零点，如函数y＝x2＋1就没有零点． (3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内． 1．若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则a＋b等于(　　) A．11　　　　　　　　 B．－11 C．1 D．－1 2．函数y＝x2－4x＋m没有零点，则m的取值范围为 (　　) A．(－∞，2) B．(4，＋∞) C．(16，＋∞) D．(－∞，8) 3．函数y＝x2－3x＋2的零点是________． 答案：1,2 ——————————　——————————————————— 求二次函数的零点 —————————————————————————————————— [典例]　求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 　 [解]　(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－. (2)①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)·(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1. 又－(－1)＝， 当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1. 当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和. 综上，当a＝0或时，函数的零点为－1. 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和. (3)因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3. 求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤 (1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； (2)若二次项系数不为零，则讨论对应方程根的判别式的符号，即判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点． (3)若二次项系数不为零，且相应方程有实数根，则讨论相应方程的实数根是否相等．　　 [对点训练] 求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解：(1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－. (2)①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－1＝0，得Δ＝1＋4a， 当Δ＜0，即a＜－时，相应方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2. 当Δ＞0，即a＞－时，由ax2－x－1＝0得 x1,2＝， 函数有两个零点和. 综上，当a＝0时，函数的零点为－1； 当a＝－时，函数的零点为－2； 当a＞－时，函数有两个零点和； 当a＜－时，相应方程无实数根，函数无零点． (3)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1. ——————————　——————————————————— 函数零点个数的论证与探究 ——————————————————————————————————