3.2.2 基本不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

3．2.2　基本不等式的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 重点 难点 重点：利用基本不等式求最值． 难点：基本不等式的灵活应用. 答案：A　 内化素养 数学 运算 对不等式进行变形时应注意检验利用基本不等式的前提，且注意检验多次使用等号时成立的条件 逻辑 推理 使用基本不等式求最值要对相关不等式利用拼、凑等方法进行变形，使之和或积为定值 答案：20 答案：C　 答案：16 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十一） (单击进入电子文档) 42 和积(最值)定理 已知x，y都是正数，(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2. 证明：因为x，y都是正数，所以≥，当且仅当x＝y时，等号成立． (1)当x＋y为定值s时，有≤，所以xy≤，当且仅当x＝y时，等号成立．因此，当x＝y时，xy取得最大值. (2)当xy为定值p时，有≥，所以x＋y≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．因此，当x＝y时，x＋y取得最小值2. 对 “一正、二定、三相等”的理解 (1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．例如，函数y＝x＋，当x<0时，绝不能认为x＋≥2，并由此得出错误结论：x＋的最小值为2.事实上，当x<0时，x＋＝－≤－2，当且仅当x＝－1时，取得最大值－2. (2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求x＋y的最小值，xy必须是定值；求xy的最大值，x＋y必须是定值．例如，已知0<x<，求(5－3x)x的最大值，需变形为(5－3x)·3x·，这时3x＋(5－3x)＝5，为定值，且3x>0,5－3x>0. (3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．例如，y＝＋，满足“正”和“定”的条件，但要取等号必须满足＝，即x2＋2＝1，这是不可能的，所以函数y＝＋的最小值不是2. 2．已知直角三角形面积为50，则两直角边和的最小值是________． 解析：设直角边分别为a，b，则ab＝50，即ab＝100. ∴a＋b≥2＝20，当且仅当a＝b＝10时取等号． ∴两直角边和的最小值是20. 答案：20 1．矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是 (　　) A．4　　　 B.　　　 C.　　 　D．2 答案：B 3．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是______． 答案：9 ——————————　——————————————————— 利用基本不等式求最值 —————————————————————————————————— [典例]　(1)已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为 (　　) A．2　　　　　　 B．4 C．4 D ．16 (2)若正数a，b满足a>1，b>1，且a＋b＝3，则＋的最小值为 (　　) A．4 B．6 C．9 D．16 [解析]　(1)因为(＋)2＝(a＋1)＋(b＋1)＋2·≤(a＋1)＋(b＋1)＋(a＋1)＋(b＋1)＝2(a＋b＋2)＝8，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以＋的最大值为2. (2)由a＋b＝3，可得a－1＋b－1＝1，a－1>0，b－1>0，所以＋＝(a－1＋b－1)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b－1＝2(a－1)，即b＝，a＝时等号成立． [答案]　(1)A　(2)C 根据条件利用基本不等式的变形求最值的方法 根据已知条件利用基本不等式求最值的基本思路有两个：一是消元的思想，转化为只有一个变量的代数式，再通过变形转化为基本不等式的形式求解；二是直接利用条件式或进行恰当地转化，然后利用基本不等式求最值，在此过程中需注意： (1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件． (2)当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值． (3)特别注意“1”的代换．　　 [对点训练] 1．设a，b满足2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，则＋的最小值为　 　　　 (　　) A.　　　 　B.　　　 　C.　　　 　D．4 解析：∵2a＋3b＝6，∴＋＝1， ∴＋＝＝＋＋≥＋2＝＋2＝， 当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立． 2.已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　) A．1 B．3 C．6 D．12 解析：∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号．故选B. 答