3.2.1 基本不等式的证明（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

3．2.1　基本不等式的证明 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解基本不等式的证明过程． 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 重点 难点 重点：基本不等式的证明及简单应用． 难点：对基本不等式的理解. 算术平均数 几何平均数 a＝b 答案：D　 答案：4 内化素养 逻辑推理 应用基本不等式进行推理时要注意基本不等式的应用条件 数学运算 利用基本不等式比较大小时应注意等号成立的条件 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十） (单击进入电子文档) 46 1．算术平均数、几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的____________， 称为a，b的____________． 2．基本不等式 如果a，b是正数，那么≤_____ (当且仅当_____时，等号成立)． 我们把不等式___________(a，b≥0)称为基本不等式． ≤ 3．两个重要推论 当a，b∈R时， (1)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)ab≤2(当且仅当a＝b时，等号成立)． (1)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等． (2)基本不等式≥中，要求a，b都是非负实数，否则，若a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现≥的错误结论．若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义． (3)基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0，而重要不等式中的a，b是实数．事实上，当a≥0，b≥0时，我们分别用，代替重要不等式中的a，b，即得a＋b≥2，变形可得≥. (4)基本不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的非负数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应非负． 1．判断正误 (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2. (　　) (2)6和8的几何平均数为2. (　　) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． (　　) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2. (　　) 答案：(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为 (　　) A．x≥2y　　 B．x>2y　　 C．x≤2y　 　D．x<2y 答案：B 3．已知a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是 (　　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| 答案：A 4．若x＞0，则函数y＝x＋ (　　) A．有最大值－4 B．有最小值4 C．有最大值－2 D．有最小值2 答案：B ——————————　——————————————————— 对基本不等式的理解 —————————————————————————————————— [典例]　“0<a<b”是“<”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　若0<a<b，由基本不等式可以得出<(因为a≠b，所以取不到等号)；反之若<，可得a>0，b>0且()2<2，化简得a>0，b>0且(a－b)2>0，即a>0，b>0且a≠b，得不到0<a<b，所以是充分不必要条件． [答案]　A 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.　　 [对点训练] (多选)下面四个推导过程正确的有 (　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2 ＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2 ＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－＋≤－2 ＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab 解析： A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的；C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误． 答案：AC　 ——————————　——————————————————— 利用基本不等式比较大小 —————————————————————————————————— [典例]　(1)若a，b∈R，则下列不等式恒成立的是 (　　) A.≥　　　 B.＋≥2 C.≥2 D．(a＋b)≥4 (2)已知a>b>c，则与的大小关系是___________．　 [解析]　(1)令a＝－2，b＝2，则A、B、D均错误．对于C，∵a2＋b2≥2ab，∴2a2＋2b2≥a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)≥