4.2.1 对数的概念（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

4．2.1　对数的概念 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念． 2.会进行对数式与指数式的互化． 3.会求简单的对数值． 重点 难点 重点：对数的概念． 难点：对数概念的理解与应用. 对数 logaN＝b 底数 真数 10 lg N e ln N 0 1 答案：D　 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十六） (单击进入电子文档) 25 1．对数的概念 一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的______，记作_________，其中，a叫作对数的______，N叫作______． 2．对数与指数的关系 指数式ax＝N可以写成logaN＝x(a>0，a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下： 结论：alogaN＝____. 3．常用对数与自然对数 (1)常用对数：通常将以____为底的对数，称为常用对数，即对数log10N，简记为______. (2)自然对数：将以____为底的对数，称为自然对数， 即logeN，简记为_____. 4．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga1＝___ (a>0，a≠1)． (3)logaa＝___ (a>0，a≠1)． (1)对数logaN只有在a＞0，且a≠1，N＞0时才有意义．理由如下： ①若a＜0，且N为某些数值时，b不存在．例如，因为式子(－2)x＝3没有实数根，所以log(－2)3不存在，为此，规定a不能小于0. ②若a＝0，且N≠0，则logaN不存在；若a＝0，N＝0，则b有无数个值，不能确定，为此，规定a≠0，且N≠0. ③若a＝1，又N不为1，则b不存在，如log12不存在；而a＝1，N＝1时，b可以为任何实数，不能确定，为此，规定a≠1. ④由于正数的任何次幂都是正数，即ab＞0(a＞0)，因此N＝ab＞0.在规定了a＞0，且a≠1，N＞0后，对数logaN便随着a，N的确定而唯一确定．根据这一规定可知，并不是每一个指数式都能直接改写成对数式．例如，(－2)2＝4不能写成log(－2)4＝2. (2)指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式．具体对应如下： 表达形式 a b N 对应的运算 ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由a，b求N ＝a 方根 根指数 被开方数 开方，由N，b求a logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由N，a求b 由此可知： ①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； ②弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键． 2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为________． 答案： 1．以下对数式中，与指数式5x＝6等价的是________． ①log56＝x；②log5x＝6；③log6x＝5；④logx6＝5. 答案：① 4．若logx8＝3，则x＝________. 解析：由指对互化知x3＝8，所以x＝2. 答案：2 3．若log3(2x－1)＝0，则x＝________. 解析：若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1. 答案：1 [解]　因为由ax＝b可得x＝logab，a＞0，a≠1，b＞0，所以 (1)由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. —————————————————————————————— 指数式与对数式的互化 —————————————————————————————————— [典例]　将下列指数式与对数式互化． (1)10－2＝0.01；(2)16＝x； (3)log8＝－3；(4)loga(1＋)＝－1. (2)由16＝x可得log16x＝－. (3)由log8＝－3可得－3＝8. (4)由loga(1＋)＝－1可得a－1＝1＋. 1．指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2．指数式与对数式互化时应注意的问题 并非任意式子ab＝N都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有当a＞0，且a≠1时，才有ab＝N⇔b＝logaN.　　 解：(1)log28＝3；(2)ln m＝；(3)log27＝－； (4)32＝9；(5)102.3＝n；(6)3－4＝. [对点训练] 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)23＝8；(2)e＝m；(3)27＝；(4)log39＝2； (5)lg n＝2.3；(6)log3＝－4.