4.1 指数（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第4章 指数阿与对数 4．1　指数   明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解n次方根及根式的概念． 2．了解指数幂的拓展过程． 3．掌握指数幂的运算性质． 重点 难点 重点：实数指数幂的运算及其性质． 难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂. xn＝a 根指数 被开方数 |a| a －a a 偶次 没有意义 as＋t ast atbt 答案：CD　 答案：B　 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十五） (单击进入电子文档) 45 ± (一)根式的意义及性质 1．n次方根 定义 一般地，如果______ (n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根 个数 n为 奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为x＝ ____ a<0 x<0 n为 偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为x＝_______ a<0 x不存在 注意 0的n次方根等于____ 2．根式 式子叫作根式，其中n叫作_______，a叫作__________． 3．根式的性质(n>1，n∈N*) (1)n为奇数时，＝____. (2)n为偶数时，＝____＝ (3)＝____. (4)负数没有______方根． (1)n次方根的定义是平方根、立方根定义的推广，根式符号是平方根、立方根符号的推广． (2)对于根式符号，要注意以下几点： ①n＞1，且n∈N*. ②当n为大于1的奇数时，对任意的实数a都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，从而有()n＝a. ③当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义； (a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，a的另一个n次方根是－，从而有(±)n＝a. ④式子对任意a∈R都有意义． 2．当x<0时，x＋＋＝________. 答案：1 3. 若 ＝(x－3)，则x的取值范围是________． 答案：[3,5] 1．求值： ＝________. 答案：－ (二)指数幂的拓展 1．分数指数幂 分数指数幂 正分数 指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*) 负分数 指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂为， 0的负分数指数幂____________ 2.有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝____， (2)(as)t＝____， (3)(ab)t＝____， 其中s，t∈Q，a>0，b>0. 3．无理数指数幂 一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用． 这样，指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂． (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a有时有意义，有时无意义．如(－1)＝＝－1，但(－1)就不是实数了．为了保证在取任何有理数时，a都有意义，所以规定a＞0. (3)注意幂指数不能随意约分．如(－4)＝＝[(－4)2]＝2，而(－4)＝在实数范围内无意义． (4)负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数． (5)有理数指数幂除上述运算性质外，还有如下性质： ①as÷at＝as－t(a＞0，s，t∈Q)；②s＝(a＞0，b＞0，s∈Q)． (6)有理数指数幂的几个常见结论： ①当a＞0时，ab＞0； ②当a≠0时，a0＝1，而当a＝0时，a0无意义； ③若ar＝as(a＞0，且a≠1)，则r＝s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：(a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a＞0，b＞0)． (7)有理数指数幂的运算性质均在有意义的条件下才能成立，否则，不一定成立．如m×8不一定等于(m)8，因为当m＜0时，m没有意义． 2．已知x＞0，y＞0，则(xy)＝________. 答案：x2 y3 3．设a＞0，则表示成分数指数幂是________． 答案：a 1.(m＞n)表示为分数指数幂的形式为________． 答案：(m－n) a2 a－ a a－ a 4．填表：用分数指数幂或根式的形式表示下列各式(a＞0). ————————————————————————————— 利用根式的性质化简或求值 ————————————————————————————————— [典例]　化简： (1) －＋. (2) ； (3)()2＋＋. [解]　(1)原式＝－＋ ＝＋－(2－)＋2－＝2. (2) ＝|x－4|＝ (3)由题意知a－1≥0，即a≥1， 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a