2.3 函数的单调性和最值（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　函数的单调性和最值 1．函数单调性的概念 (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： (6)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)是减(增)函数． f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 1．对增函数与减函数定义的理解 (1)定义中x1，x2有三个特征：一是x1，x2同属于一个单调区间；二是x1，x2是任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替；三是x1与x2有大小，通常规定x1＜x2，但也可规定x2＜x1. (2)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D⊆I. (3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增；符号相反时，函数单调递减． 1．判断正误 (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上单调递增． (　　) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)． (　　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增． (　　) (4)若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝－f(x)在区间D上单调递减．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是 (　　) A．y＝2x＋1　　　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 答案：ABD 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，若存在实数M，对所有的x∈D，都有 ，且存在x0∈D，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的 ，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0) 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标 函数的最小值 一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，若存在实数m，对所有的x∈D，都有 ，且存在x0∈D，使得f(x0)＝m，则称m为函数y＝f(x)的 ，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0) 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标 f(x)≤M 最大值 f(x)≥m 最小值 函数的最值和值域的区别和联系 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域． (2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．例如，函数f(x)＝x2对任意的x∈R，都有f(x)≥－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内； ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 1．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x) (　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 答案：D 2.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为______，最大值为______． 答案：－1　2 [拓展] 你能求出该函数的最大值吗？ 解：由函数图象可知，当x＝－1或x＝1时，函数的最大值为4. [方法技巧] 1．图象法解决函数的单调性问题 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调性 [对点训练] 1. 函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是 (　　) A．[1,2]　　　　 B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 1．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 2．作差变形的常用技巧 (1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)． (2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解． (3)配方．当所得的差式是含有x1，x2的二次三项式时，可以考虑配方，便于判断符号． (4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．　　 [解析]　(1)因为f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3， 所以函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]