2.2.2 函数的表示法（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

2．2　函数的表示法 1．函数的表示方法 2．三种表示方法的优缺点 1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________. 答案：3 2．若一次函数f(x)的图象经过点(0,1)和(1,2)，则该函数的解析式为________． 答案：f(x)＝x＋1 x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 3．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 提示：要检验一个图形是否为函数的图象，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象． 用三种表示法表示函数的注意点 (1)解析法必须注明函数的定义域． (2)列表法必须罗列出所有自变量的值与函数值的对应关系． (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．　　 [对点训练] 1．给出函数f(x)，g(x)如下表，则f(g(x))的值域为 (　　) A.{1,3}　　　　　　 B．{1,2,3,4} C．{4,2} D．{1,2,3} x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 1 g(x) 1 1 3 3 函数图象的作法及注意点 (1)作函数图象最基本的方法是描点法：主要有三个步骤——列表、描点、连线．作图象时一般先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图象． (2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意特殊点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等，还要分清这些特殊点是实心点还是空心圈．　　 [对点训练] 画出下列函数的图象，并判断函数是否存在最值，若存在，求出最值． (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)； (3)y＝|x2－2x|＋1. 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①，由图象知存在最大值1. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②，由图象知函数不存在最值． (3)先作函数y＝x2－2x的图象，保留x轴上方的图象，再把x轴下方的图象对称翻到x轴上方，最后把图象整体向上平移1个单位长度，即得到y＝|x2－2x|＋1的图象，如图③所示．由图象知，函数存在最小值1，无最大值． [方法技巧]　求函数解析式的四种常用方法 换元法 设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可 配凑法 对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可 待定系数法 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可 方程组法 当同一个对应关系中的两个含有自变量的表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解 [提醒]　应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． [对点训练] 1．已知函数f(x)满足2f(x)＋3f(－x)＝2x2－3x＋5，则f(x)＝____________. 一、在典题训练中内化学科素养 本节知识中，函数图象与函数解析式是高考考查的热点，对函数图象的考查多为识图问题或利用函数图象解决问题，对函数解析式的考查则往往涉及求值问题，体现了直观想象、逻辑推理、数据分析的核心素养． 1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程， 如图所示，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃 油效率的情况，下列叙述中正确的是 (　　) A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油 D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：对于选项A，从题图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时，燃油效率大于5 km/L，故当速度大于40 km/h时，乙车消耗1 L汽油行驶的路程大于5 km，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶，甲车燃油效率最高，即消耗1 L汽油行驶的路程最远，故当行驶相同路程，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于选项C，甲车以80 km的速度行驶1 h，里程为80 km，燃油效率为10 km/L，故消耗8 L汽油，故C错误；对于选项D，因为在速度低于80 km/h 时，丙车的燃油效率高于乙车的燃油效率，故D正确． 答案：D　 3．设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝_______，b＝_______. 解析：∵f(x)＝x3＋3x2＋1， ∴f(a)＝a3＋3a2＋1