1.4.2 一元二次不等式及其解法（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

4.2　一元二次不等式及其解法 概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式 一般表达式 ax2＋bx＋c＞0(或≥0)或ax2＋bx＋c＜0(或≤0)，其中a，b，c均为常数，且a≠0 一元二次不等式的解 使一元二次不等式成立的 叫作这个一元二次不等式的解 一元二次不等式的解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的 叫作这个一元二次不等式的解集 未知数的值 值组成的集合 判断正误 (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式． (　　) (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式． (　　) (3)不等式－x2－2x＋3>0是一元二次不等式． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ (1)利用相应二次函数的图象求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下： 一元二次不等式，a为正值来定形； 对应方程根求好，心中想想抛物线； 大于异根取两边，小于异根夹中间； 大于等根根去掉，小于等根空集成； 大于无根取全体，小于无根不可能！ (2)“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)． 1．不等式2x2－x－1>0的解集是________． 答案： 2．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________． 答案：∅ 3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为___________． 答案：－2,3 [方法技巧]　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． [提醒]　对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．　　 [对点训练] 解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0. 解：Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时， 方程2x2＋ax＋2＝0无实根， 所以原不等式的解集为R. (2)当Δ＝0，即a＝±4时， 若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1； 若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1. (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方的部分，满足不等式ax2＋bx＋c>0；图象在x轴下方的部分，满足不等式ax2＋bx＋c<0，一元二次不等式与对应函数、方程之间相互依存、相互转化．　　 [对点训练] 1．若不等式4x2－12x－7>0与关于x的不等式x2＋px＋q>0的解集相同，则x2－px＋q<0的解集是 (　　) 2．若关于x的不等式(x＋1)(x－3)<m的解集为{x|0<x<n}，则实数n的值为________． 解析：∵关于x的不等式(x＋1)(x－3)<m的解集为{x|0<x<n}，∴x＝0是方程(x＋1)(x－3)＝m的解， ∴m＝－3，∴原不等式为(x＋1)(x－3)<－3， 即x2－2x<0，解得0<x<2， 故不等式的解集为{x|0<x<2}， ∴n＝2. 答案：2 一、在典题训练中内化学科素养 由于一元二次不等式具有较强的基础性和工具性，因此是历年高考的必考点，既可直接考查不等式的解法，又可与集合、二次函数及以后将要学习的分段函数、指数函数、三角函数等相结合考查，一般以中低档难度的题目为主．对于一元二次不等式，重点是把握“三个二次”之间的关系，要强化对数形结合思想的运用意识．提高解含参数的一元二次不等式的熟练程度，把握分类原则．考查数学运算、逻辑推理等核心素养． 1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝ (　　) A．{x|－4<x<3}　　　 B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} 解析：由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C. 答案：C　 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则