27.2.1.4 两角分别相等的两个三角形相似-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件（人教版）

两角分别相等的两个三角形相似 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 学习目标 1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并 能进行相关计算. (重点、难点) 3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算. 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 情境引入 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 讲授新课 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题： 这两个三角形是相似的 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 55 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上， 截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′. ∵∠B=∠B′， ∴∠A′DE=∠B. 又∵ A′D=AB，∠A=∠A′， ∴△A′DE ≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′ . C A A' B B' C' D E 问题二 试证明△ABC∽△A′B′C′. 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： 归纳： C A B A' B' C' 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ， ∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °， ∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. 　 ∴ △ABC ∽△DEF. 例1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °． 求证：△ABC ∽△DEF. A C B F E D 典例精析 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD. 证明:连接AC，DB. ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A= _______， 同理 ∠C= _______， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴______ 即PA ·PB = PC · PD. ∠D ∠B O D C B A P 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 ∴ 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长. D A B C E ∴ 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳： 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 思考： 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°， ∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 要证明两个三角形相似，即是需要 证明什么呢？ 目标： 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似 证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′. 由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. 勾股定理 ∴ C A A' B B' C' 27.2.1 .4两角分别相等的两个三角形相似