27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件（人教版）

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理. 2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进 行相关计算. (重点、难点) 学习目标 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？ 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过 两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 复习引入 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 讲授新课 利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使 ∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长， 它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的 两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关 系？ 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？ 两个三角形相似 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明： 在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 5 ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. B A C D E B' A' C' ∵ A′D=AB， ∴ 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？ 试着画画看. 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等. A B C 思考： A′ B′ B″ C′ 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm． 解：∵ ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 典例精析 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 例2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形， AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明： ∵ △ABC 与 △ADE 都是等腰三角形， ∴ AD =AE，AB = AC， ∴ 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. A B C D E 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 解：∵ AE=1.5，AC=2， 例3 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. 27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 12 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB