第二讲 垂直平分线与角平分线　复习讲义　2021—2022学年北师大版数学八年级下册

第二讲 垂直平分线与角平分线 【知识导航】 （一） 线段垂直平分线 角平分线 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的作用：证明两条线段相等 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 对称性 线段关于它的垂直平分线对称. 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 判定 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 应用 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （二）互逆命题与互逆定理 【典型题】 例1：1、如图1，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，求证：AB+BD＝DE。 A B C E D 图1 2、如图所示， AB>AC ，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交与D,自D作DE⊥AB于 E ，DF⊥AC于F ，求证： BE=CF 。 A E B D C 图2 变式练习1：如图2，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC= 。 例2：已知,如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于点D,且BD=CD,求证:点D在∠BAC的平分线上.A F E D C B 变式练习2：已知如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 例3：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试说明AD垂直平分EF. 例4：在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M， . （1）求 的大小. （2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求的大小. （3）你认为存在什么样的规律？试用一句话说明.（请同学们自己画图） 【巩固练习】 （一）选择题 1. 下列命题中正确的命题有（ ） ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点 3. 如图，AC=AD，BC=BD，则（ ） A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对 4. 在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD：BD=1：2，BC=6cm，则点D到点A的距离为（ ） A. 1.5cm B.3cm C.2cm D.4cm 5. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论： (1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的是（ ） A、(1)，(3) B、(2)，(3) C、(3)，(4) D、(1)，(2)，(4) 3题图 4题图 5题图 6. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于 60°的角的个数为（ ） A、2 B、3 C、4 D、5 第6题图 第7题图 第8题图 7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H