2.5.1 圆的标准方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.5.1　圆的标准方程 (一)圆的标准方程 (1)所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径． (2)圆的标准方程的右端r2>0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． (3)圆的标准方程可用来解决：①已知圆心和半径求圆的方程的问题；②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即半径)． 2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 (　 ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以1＋(2－b)2＝1，b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A. 答案：A　 (二)点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 ＝ > < 1．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为 (　 ) A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 解析：∵(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4>2，∴点P在圆外．故选A. 答案：A　 圆的标准方程的两种求法 (1)几何法：利用图形的平面几何性质，如“弦的中垂线必过圆心”，“两条弦的中垂线的交点必为圆心”，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解——解方程组，求出a，b，r； ④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．　　 [对点训练] 1．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是 (　 ) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 2．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为 (　 ) A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 3．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程． [解]　(1)因为点A在圆的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不为0，解得a<－2.5.故a的取值范围为(－∞，－2.5)． (2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5.故a的值为－2.5. (3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不为0，解得a>－2.5且a≠0.故a的取值范围为(－2.5,0)∪(0，＋∞)． 点与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较． (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点在圆外； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，点在圆内．　　 [对点训练] 1．已知点P(a,10)，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝12，则点P (　 ) A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 解析：∵(a－1)2＋(10－1)2＝(a－1)2＋81>12.∴点P在圆外，故选C. 答案：C　 2．已知点M(1,1)，圆C的标准方程：(x－a)2＋(y＋a)2＝4，若点M在圆C上，则a的值为________；若点M在圆C的内部，则a的取值范围为________． 解析：由题意知，点M在圆上，则(1－a)2＋(1＋a)2＝4，解得a＝±1.点M在圆内，则(1－a)2＋(1＋a)2<4，即a2－1<0，解得－1<a<1. 答案：±1　(－1,1) 2．本例条件不变，试求圆上一点到直线x＋y＝4的最大值与最小值． 内化素养 逻辑推理 因为△ABP的边AB不变，所以△ABP的面积的取值范围即为点P到边AB所在直