1.3.1&1.3.2 第1课时 等比数列的概念及通项公式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.3.1&1.3.2　等比数列及其通项公式　等比数列与指数函数 第 1 课时　等比数列的概念及通项公式 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项之 都等于_______常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的 ，公比通常用字母q表示． 2 前 比 同一个 公比 对等比数列概念的理解 (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0. (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项之比都等于同一个常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n>3，n∈N＋)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，那么此数列不是等比数列． (4)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列． (5)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它是等比数列． (1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项an，an＋1，an＋2，则an＋1是an与an＋2的等比中项．如在等比数列1,2,4,8，…中，2n是2n－1与2n＋1的等比中项(n∈N＋)． (2)“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的，前者可以推出后者，但后者不一定能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0,0,1不成等比数列． 2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 (　 ) A．4 B．8 C．6 D．32 解析：由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6. 答案：C　 [对点训练] 1. 在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为 (　 ) A．9 B．－9 C．±9 D．18 解析：因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9. 所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9. 因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同， 所以a1，a9同号，故a1a9＝9. 答案：A　 2．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于 (　 ) A．6 B．－6 C．±6 D．±12 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 [对点训练] 在等比数列{an}中． (1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. [解]　(1)证明：令an＋1＋k＝2(an＋k)， 即an＋1＝2an＋k，与an＋1＝2an＋1比较得k＝1. 又a1＋1＝2，bn＝an＋1， 故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，an＋1＝2·2n－1， ∴an＝2n－1(n∈N＋)． 一、在典题训练中内化学科素养 高考对等比数列的考查突出对等比数列通项公式的应用及概念的理解，聚焦数学运算、逻辑推理的核心素养． 1．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝ (　 ) A．12 B．24 C．30 D．32a 2．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 解：(1)设{an}的公差为d. 因为a1＝－10， 所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d. 因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列， 所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)． 2．已知函数f(x)＝logkx(k为常数，k>0且k≠1)．下列条件中，能使数列{an}为等比数列的是__________(填序号)． ①数列{f(an)}是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列{f(an)}是首项为4，公差为2的等差数列； ③数列{f(an)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列． 强化拓广探索 4．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列