1.2.3 第2课时 等差数列的前n项和的性质及应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第 2 课时　等差数列的前n项和的性质及应用 等差数列{an}的前n项和Sn的性质 续表 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于 (　 ) A．63 B．45 C．36 D．27 解析：∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列， 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 答案：B　 解决有关等差数列前n项和问题时注意应用其性质解题．　　 2．已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________． 解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，① ∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，② 由①②得d＝－4. 答案：－4 3．已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 求数列{|an|}的前n项和 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}，若原数列{an}中既有正项又有负项，则{|an|}不再是等差数列，求和的关键是找到数列{an}中正、负项的分界点处n的值，再分段求和．　　 [对点训练] 在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn. 一、在典题训练中内化学科素养 等差数列前n项和的性质在高考中比较常见，主要考查逻辑推理、数学运算的核心素养． 1.(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) (　 ) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 3．(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________． 解析：设数列{an}的公差为d. ∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10， ∴a1＝－4，d＝1， ∴a5＝a1＋4d＝0， an＝a1＋(n－1)d＝n－5. 令an<0，则n<5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正． ∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10. 答案：0　－10 内化素养 数学运算 应用前n项和公式及通项公式求值 逻辑推理 由等差数列前n项和的性质及函数特性推出结果 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为 (　 ) A．28 B．29 C．30 D．31 解析：设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，中间项为an＋1，故S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29，故选B. 答案：B　 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝________. 解析：∵Sn＝n2－16n，∴当n＝1时，a1＝－15，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－16n－[(n－1)2－16(n－1)]＝2n－17，令an≤0，解得n≤8，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝－a1－a2－a3－…－a8＋a9＋a10＋a11＝15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＝73. 答案：73 4．设数列{an}的前n项和为Sn，写出一个同时满足条件①②的等差数列{an}的通项公式an＝________. ①Sn存在最小值且最小值不等于a1； ②不存在正整数k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1<Sk＋2. 解析：若a2<0，则满足①，又由不存在正整数k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1<Sk＋2，则可得Sn连续两项取得最小值，即存在n使得an＝0，则可得{an}的通项公式可以是an＝2n－6. 答案：