1.2.1&1.2.2 第2课时 等差数列的性质及应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第 2 课时　等差数列的性质及应用 (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 2．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中点的横坐标是正整数，a1－d是直线在y轴上的截距，公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 3．等差数列的单调性 由等差数列的定义或观察图中等差数列对应的图象知： 当d>0时，数列{an}是递增数列；当d<0时，数列{an}是递减数列；当d＝0时，数列{an}是常数列． 1．判断正误 (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． (　 ) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列． (　 ) (3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2. (　 ) (4)若数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知点(1,5)，(2,3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为 (　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ (　 ) A．90 B．270 C．180 D．360 解析：因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， 所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180. 答案：C　 4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________． 解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30. 答案：30 [解]　(1)法一：通项公式法 化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12. 法二：性质法 根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48， 及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13， 得4a13＝48，∴a13＝12. 1．等差数列基本运算的方法 对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法： 一是建立基本量a1和d的方程，通过解方程组求解； 二是利用等差数列的基本性质求解． 2．等差数列的常用性质 性质1：通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)． 性质2：若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.特别地，若m＋n＝2t，则am＋an＝2at(t∈N＋)． 性质3：若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列．　　 [对点训练] 1．已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　 ) A．无实根　　　　　　　 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 解析：∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0，∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程无实根． 答案：A　 2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＝3，a3＋a4＝7，求a5＋a6. 解：∵a1＋a5＝2a3，a2＋a6＝2a4， ∴(a1＋a5)＋(a2＋a6)＝2(a3＋a4)， 即(a1＋a2)＋(a5＋a6)＝2(a3＋a4)， ∴3＋(a5＋a6)＝2×7，∴a5＋a6＝11. [解]　法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，∴d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.