1.1.2 数列的递推公式及函数性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第 2 课时　数列的递推公式及函数性质 1．数列的递推公式 如果数列{an}的任一项 与它的前一项 之间的关系可用一个公式来表示，即 ，n≥1.那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式，a1称为数列{an}的初始条件． an＋1 an an＋1＝f(an) 2．数列递推公式与通项公式的关系   递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系f 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 (1)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化．如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)，用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)． (2)与所有数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．如π精确到1,0.1,0.01，0.001，…的近似值构成的数列为3,3.1,3.14，3.142，…，无法写出其递推公式．有些数列即使有递推公式，也不一定唯一．如数列2,4,6,8,10，…为正偶数组成的数列，其递推公式可以是a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N＋)，而a1＝2，a2＝4，an＋1＝2an－an－1(n≥2)也是它的递推公式． 3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可以是an＝an－1＋________(n∈N＋，n≥2)．由a10＝55，得a12＝____. 答案：n　78 一般地，对于一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作 ；如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作 ；如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作 ；各项都相等的数列叫作 ． 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 1．已知数列{an}满足a1>0,2an＋1＝an，则数列{an}是 (　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不正确 解析：当n≤12时，25－2n>0，数列单调递增；n≥13时，25－2n<0，数列单调递增． 则满足an＋1<an的n的值为12. 答案：B　 答案：C　 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是递增数列，求实数k的取值范围． 解：由{an}是递增数列， 得an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)＝2n＋1＋k>0对于任意n∈N＋恒成立． ∵f(x)＝2x＋1＋k在[1，＋∞)上是增加的， ∴2n＋1＋k>0对任意n∈N＋恒成立等价于2×1＋1＋k>0，∴k>－3，∴实数k的取值范围是(－3，＋∞)． 发展理性思维 1．设数列{an}中a1＝a2＝1，且满足a2n＋1＝3a2n－1与a2n＋2－a2n＋1＝a2n，则数列{an}的前12项的和为 (　 ) A．364 B．728 C．907 D．1 635 解析：数列{an}中a1＝a2＝1，且满足a2n＋1＝3a2n－1，则a3＝3a1＝3，a5＝3a3＝9，a7＝3a5＝27，a9＝3a7＝81，a11＝3a9＝243. 由于a2n＋2－a2n＋1＝a2n，所以a2n＋2＝a2n＋1＋a2n， 故a4＝a3＋a2＝4，a6＝a5＋a4＝13，a8＝a7＋a6＝40，a10＝a9＋a8＝121，a12＝a11＋a10＝364， 所以数列{an}的前12项的和为1＋1＋3＋4＋9＋13＋27＋40＋81＋121＋243＋364＝907.故选C. 答案：C　 2．数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn(n≤2 020)，若数列{an}为递减数列，则t的取值范围是________． 解析：由数列{an}为递减数列知，an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t＜0对于n＝1，2，…，2 019恒成立，即t＜－(2n＋1)对于n＝1，2，…，2 019恒成立，所以t＜－4 039.故t的取值范围是(－∞，－4 039)． 答案：(－∞，－4 039) 注重实践应用 3.古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A，B，C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上．将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大金盘放在较小金盘上面．若A柱上现有3个金盘(如图)，将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动的次数为 (