5.3.3 第2课时 利用导数解决实际问题（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．　　 [对点训练] 1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm. 2．将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？ (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的一类问题，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答． (2)利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．　　 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．　　 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(三十八)” (单击进入电子文档) 20 第 2 课时　利用导数解决实际问题 ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 几何中的最值问题 —————————————————————————————————— [典例]　有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？ [解]　设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器的底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x,0<x<eq \f(a,2). 即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<eq \f(a,2). 实际问题归结为求V(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上的最大值点． 为此，先求V(x)的极值点．在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))内， V′(x)＝12x2－8ax＋a2. 令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0， 解得x1＝eq \f(1,6)a，x2＝eq \f(1,2)a(舍去)． 当0<x<x1时，V′(x)>0；当x1<x<eq \f(a,2)时，V′(x)<0. 因此x1是极大值点，且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))内，x1是唯一的极值点，所以x＝eq \f(1,6)a是V(x)的最大值点． 即当截下的小正方形边长为eq \f(1,6)a时，容积最大． eq \a\vs4\al([方法技巧]) 解析：设该漏斗的高为x cm， 则底面半径为eq \r(202－x2) cm，其体积为V＝eq \f(1,3)πx(202－x2)＝eq \f(1,3)π(400x－x3)(0<x<20)， 则V′＝eq \f(1,3)π(400－3x2)． 令V′＝0，解得x1＝eq \f(20\r(3),3)，x2＝－eq \f(20\r(3),3)(舍去)． 当0<x<eq \f(20\r(3),3)时，V′>0； 当eq \f(20\r(3),3)<x<20时，V′<0， 所以当x＝eq \f(20\r(3),3)时，V取得最大值． 答案：eq \f(20\r(3),3) 解：设弯成圆的一段长为x(0<x<100)，另一段长为100－x，记正方形与圆的面积之和为S，则S＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2π)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－x,4)))2(0<x<100)，则S′＝eq \f(x,2π)－eq \f(1,8)(100－x)． 令S′＝0，则x＝eq \f(100π,π＋4). 由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当x＝eq \f(100π,π＋4) cm时，面积之和最小．故当截得弯成圆的一段长为eq \f(100π,π＋4) cm时，两种图形面积之和最小． ——————————eq \a\vs4\al([题点二])———————————————————— 成本最低(费用最省)问题 —————————————————————————————————— [典例]　如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为