3.3.2 抛物线的几何性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3.3.2　抛物线的几何性质 (一)抛物线的简单几何性质 续表 1．通过上述表格可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为O(0,0)，离心率均为1，它们都是轴对称图形，关于焦点所在的坐标轴对称． 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： (1)抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； (2)顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； (3)焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； (4)离心率取值范围不同，椭圆的离心率取值范围是0＜e＜1，双曲线的离心率取值范围是e＞1，抛物线的离心率是e＝1； (5)椭圆和双曲线都有2条准线，而抛物线只有1条准线； (6)椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式． 1．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(－1，－1)，则抛物线的焦点坐标为 (　 ) A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________. (二)直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系： 、 、 ． 相离 相切 相交 1．直线与抛物线位置关系的判断方法 (1)直线的斜率存在时，设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①当k＝0时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点． ②当k≠0时，判别式Δ＞0⇔直线与抛物线相交，有两个公共点； 判别式Δ＝0⇔直线与抛物线相切，有且只有一个公共点； 判别式Δ＜0⇔直线与抛物线相离，没有公共点． (2)直线的斜率不存在时，设直线l：x＝m，抛物线：y2＝2px(p＞0)． 显然，当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点； 当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点． (2)通径是所有焦点弦中最短的弦． (3)通径在反映抛物线开口大小上的作用： 抛物线的通径AB(如图所示)的长度为2p，这是常数2p的又一几何意义，所以p越大，通径越长，即抛物线的开口越大；反之，p越小，通径越短，即抛物线的开口越小． 1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是 (　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 解析：当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的．当直线l的斜率存在，且直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．故选D. 答案：D　 3．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线l，则直线l被抛物线截得的弦长为________． 解析：由抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.设弦的两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 答案：16 求抛物线标准方程的一般步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程．　　 [对点训练] (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． [拓展]　 本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． [对点训练] 1.(多选)设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且AF·BF＝25，则k的值为 (　 ) A．1 B．2 C．±2 D．－2 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，消去x，得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，所以y1y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，因为AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，所以AF·BF＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25⇒k＝±2. 答案：C　 2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值； (2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 应用