3.2.2 双曲线的几何性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3．2.2　双曲线的几何性质 (一)双曲线的范围、对称性和顶点 (1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线． (2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的． (3)双曲线的实轴长不一定大于虚轴长，这要和椭圆的长轴长大于短轴长区别开来． (4)双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的地方(椭圆有四个顶点)，虚轴的两个端点不是双曲线的顶点，只是为了给出b的几何意义而定义的． (5)双曲线的焦点总在实轴所在的直线上，而椭圆的焦点总在长轴上． 1．双曲线的标准方程与渐近线方程   双曲线 椭圆 曲线 两支曲线 封闭的曲线 顶点 两个顶点 四个顶点 轴 实、虚轴 长、短轴 渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 e＞1 0＜e＜1 a，b，c关系 a2＋b2＝c2 a2－b2＝c2 (三)双曲线的离心率 [拓展] 将本例中双曲线方程换为“nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)”，结论不变，如何求解？ 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．　　 由双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路 根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按“先定位，再定形”的方法，但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质．　　 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十七)” (单击进入电子文档) 52 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 2．能用双曲线的简单几何性质解决问题． 重点 难点 重点：双曲线的几何性质． 难点：双曲线几何性质的应用. x轴、y轴 坐标原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 2a 2b a b 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R ，x∈R 对称性 对称轴： ；对称中心：__________ 顶点坐标 ____________________ ___________________ 轴 实轴：线段A1A2，长： ；虚轴：线段B1B2，长：____；半实轴长： ；半虚轴长： y≤－a或y≥a 答案：A　 1．双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1的顶点坐标是 (　 ) A．(±5,0) B．(±5,0)或(0，±3) C．(±4,0) D．(±4,0)或(0，±3) 解析：由双曲线方程可知顶点在x轴上，又a2＝25，∴a＝5，∴顶点坐标为(±5,0)，故选A. 2．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是 (　 ) A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B．y2－eq \f(x2,4)＝1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,16)＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1或y2－eq \f(x2,4)＝1 解析：由题意知2a＝2,2b＝4，∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，又双曲线的焦点位置不确定，故选D. 答案：D　 等轴 eq \r(2) (二)双曲线的渐近线 1．渐近线 一般地，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两支向外延伸时，与两条直线_______逐渐接近，我们把这两条直线叫作双曲线的 ．双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做 双曲线，其离心率e＝ . eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0 渐近线 双曲线的标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 图形 渐近线 直线y＝±eq \f(b,a)x 直线y＝±eq \f(a,b)x 双曲线与渐近线的关系 双曲线在渐近线的左、右两个区域，与渐近线无限靠近但不相交 双曲线在渐近线的上、下两个区域，与渐近线无限靠近但不相交 2.等轴双曲线的性质 (1)方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)； (2)渐近线方