3.2.1 双曲线的标准方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3．2.1　双曲线的标准方程 (一)双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的 等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的 ，两个焦点间的距离叫作双曲线的 ． 符号语言：|PF1－PF2|＝常数(常数小于F1F2)． 距离之差的绝对值 焦点 焦距 要注意定义中的限制条件：“小于F1F2”“绝对值”“正数”． (1)若将“小于F1F2”改为“等于F1F2”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于F1F2”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)注意定义中的“正数”这一限制条件，若差的绝对值等于零，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是 (　 ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：由已知PM－PN＝2＝MN，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D. 答案：D　 解析：因为F1F2＝4，根据双曲线的定义知A、C中动点P的轨迹为双曲线，故选A、C. 答案：AC　 (二)双曲线的标准方程 (1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上． (3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2. 所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形， 且长度为c的线段是斜边，如图所示． (2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)． 由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2， 即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)． 因此a的值为1. 解析：由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.故选A、B. 答案：AB　 1．求双曲线标准方程时有两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．　　 3.如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2 －10x＋9＝0，动圆M 与定圆F1，F2都外切，则动圆圆心M的 轨迹方程为______________________． 内化素养 逻辑推理 通过题设条件推出△PF1F2为直角三角形 数学运算 双曲线的定义式、余弦定理的运算，字母、式子的运算变形 内化素养 逻辑推理 由双曲线的定义推出C的轨迹方程，由根与系数的关系及方程推出斜率的关系． 数学运算 解方程式的运算，代数式的变形，注意设而不求思想的应用. 2.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A，B为左、右焦 点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线 的标准方程为____________． ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十六)” (单击进入电子文档) 59 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 重点 难点 重点：双曲线的定义、标准方程． 难点：双曲线标准方程、定义的应用. 2．(多选)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是 (　 ) A．PF1－PF2＝±3 B．PF1－PF2＝±4 C．PF1－PF2＝±2 D．PFeq \o\al(2,1)－PFeq \o\al(2,2)＝±4 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 图