2.1.2 圆的一般方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

第 2 课时　圆的一般方程 1．圆的一般方程的定义 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0( )叫作圆的一般方程． 2．圆的一般方程在形式上的特点 (1)x2和y2的系数相等且不为0； (2)不含xy项． D2＋E2－4F>0 3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 4．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则其关系如表所示： 1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是 (　 ) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆． 答案：A　 2．圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为 (　 ) A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1) C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1) 解析：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1)．故选D. 答案：D　 3．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5,0)，则圆C的半径r＝______. [方法技巧]　求圆的方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定 系数法 ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程 [对点训练] 已知△ABC顶点的坐标为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，求其外接圆的一般方程． [拓展] 若本例中已知条件不变，求线段AC中点M的轨迹方程． [方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的常用方法 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆、直线等定义列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 [对点训练] 1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足PA＝2PB，则P的轨迹为 (　 ) A．直线 B．线段 C．圆 D．半圆 2．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． (2)设PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，PN＝BN， 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， ∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. [典例]　某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽为10 m，上面载有货物，水面到船顶高为4 m，问该船能否顺利通过该桥？ [方法技巧]　解决与圆有关的实际问题的步骤 一、在典题训练中内化学科素养 圆的一般方程在高考中常以选择、填空题的形式出现，考查数学运算、直观想象的核心素养． 1．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． 内化素养 直观想象 数形结合，由已知条件结合图形求出圆的方程． 数学运算 字母以及数字的运算. 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形只可能是 (　 ) 解析：圆M的圆心为(a，－b)，且圆M过原点，可排除A、C项．B项中由直线l可知a＞0，b＜0，∴圆心(a，－b)在第一象限，满足条件．D项中由直线l可知a＜0，b＜0，∴圆心(a，－b) 在第二象限，与图形不符． 答案：B　 体察数学文化 5．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，则满足PA＝2PB的点P的轨迹的圆心为________，面积为______． ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十)” (单击进入电子文档) 33 明学习目标 知结构体系 课标 要求 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 重点 难点 重点：圆的一般方程． 难点：圆的一般方程的应用. 条件 方程表示的图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0