2.2.1 直线的倾斜角与斜率（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.2.1　直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点 方向旋转到与直线重合时所转的________ 记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为 . (2)范围： . 按逆时针 最小正角 0° 0°～180° 2．直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当 时，称k＝ 为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率 ． θ≠90° tan θ 不存在 直线的斜率与倾斜角的区别与联系 (1)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度． (2)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为直角的直线不存在斜率． (3)不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是直角时，倾斜角的正切值就是斜率，此时斜率和倾斜角可以相互转化．因此，确定一条不垂直于x轴的直线，只要知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率即可． 1．判断正误 (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． (　 ) (2)斜率公式与两点的顺序无关． (　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2.如图所示，直线l的倾斜角为 (　 ) A．30° B．60° C．120° D．以上都不对 解析：根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°. 答案：C　 2．直线的法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l ，则称向量v为直线l的一个法向量，记作 . 垂直 v⊥l 2．(多选)已知直线l经过点A(2,1)与B(0,2)，则以下向量可以作为直线l的一个方向向量的是 (　 ) A．a＝(1,2) B．a＝(－4,2) C．a＝(－2，－1) D．a＝(4，－2) 3．如果直线l的一个方向向量是v＝(－1,3)，一个法向量是u＝(－3，a)，则a＝________. 解析：因为v＝(－1,3)和u＝(－3，a)分别是直线l的一个方向向量和一个法向量，所以v·u＝0，即(－1)×(－3)＋3a＝0，解得a＝－1. 答案：－1 求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出示意图，找准倾斜角．有时要根据题意把倾斜角α分为以下四种情况讨论：α＝0°，0°<α<90°，α＝90°，90°<α<180°.　　 [典例]　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α，并写出直线的一个方向向量． (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)． (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； ②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． (2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. (3)根据直线斜率为k，可直接写出其一个方向向量坐标为(1，k)．　　 2．在平面直角坐标系中，若直线l的倾斜角为120°，则该直线的一个方向向量为____________． 1．用斜率公式判定三点共线的方法 判断给定坐标的三个点是否共线，先判断任意两点所确定的直线的斜率是否存在，若都不存在，则三点共线；若斜率都存在，且三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，则三点共线． 2．直线的斜率与倾斜角的函数关系 直线的斜率k＝tan α，0°≤α＜180°且α≠90°.　　 [对点训练] 1．若直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾 斜角α的取值范围是____________． 2．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为____________．　　　 3．(2021年1月新高考八省联考卷)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________. 注重实践应用 4．某棵果树前n年的总产量f(n)与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，若前m年的年平均产量最高，则m＝____. 5．已知某坡道的坡度为0.1，一物体沿坡道直线往上运动10 km，则该物体在铅直方向上上升了________km. ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十二)” (单击进入电子文档) 33 明学习目标 知结构体系 课标