3.2.1 第二课时 函数的最大(小)值（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

3.2.1　第二课时　函数的最大(小)值 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2.会借助单调性求最值． 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法． 重点难点 重点：求函数的最大(小)值． 难点：求含参数函数的最值问题. f(x)≤M f(x0)＝M 最高点 f(x)≥m f(x0)＝m 最低点 答案：D 答案：－1　2 [方法技巧]　图象法求函数最值的一般步骤 答案：A　 答案：A　 答案：A　 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十八） (单击进入电子文档) 28 名称 定义 几何意义 函数 的最 大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有__________； (2)∃x0∈D，使得__________. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值 函数的最大值对应图象________的纵坐标 函数的最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有__________； (2)∃x0∈D，使得__________. 那么，我们称m是函数y＝f(x)的最小值 函数的最小值对应图象_________的纵坐标 函数的最值和值域的区别和联系 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域． (2)区别：①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素，例如，函数f(x)＝x2对任意的x∈R，都有f(x)≥－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内；③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 1．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x) (　 ) A．有最大值　　　　　　 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 2.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为______， 最大值为______． 解析：由图可知，图象最低点的纵坐标为－1，图象最高点的纵坐标为2，所以函数的最大值为2，最小值为－1. 3．函数y＝在[2,3]上的最大值为______． 解析：∵y＝在[2,3]上单调递减，∴ymax＝f(2)＝1. 答案：1 —————————————————————————————— 图象法求函数的最值 —————————————————————————————————— [典例]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，x∈R. (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)求y＝f(x)，x∈[－4,2]的值域． [解]　(1)当x＞0时，f(x)＝x2－2x， 当x＝0时，f(x)＝0， 当x＜0时，f(x)＝－x2－2x， ∴f(x)＝ 作出函数f(x)的图象如图所示． (2)由(1)可知，当x∈[－4，－1]和[1,2]时函数单调递增，x∈[－1,1]时函数单调递减， ∴f(x)min＝f(－4)＝－8， f(x)max＝f(－1)＝1， ∴f(x)的值域为[－8,1]． [对点训练] 已知函数f(x)＝ 求函数f(x)的最大值、最小值． 解：作出f(x)的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2； 当x＝时，f(x)取最小值为－. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－. —————————————————————————————— 利用单调性求函数的最值 —————————————————————————————————— [典例]　已知函数f(x)＝，其中m≠2. (1)讨论f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (2)若m＝1时，求f(x)在[1,3]上的最大值和最小值． [解]　(1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝－＝ ＝. ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， ∴当m＞2时，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，函数f(x)为增函数，当m＜2时，f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)，函数f(x)为减函数． (2)当m＝1时，由(1)可知，f(x)在[1,3]上为减函数，故f(x)的最大值为f(1)＝，f(x)的最小值为f(3)＝. 利用函数的单调性求最值的常用结论 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(a)，最大值ymax＝f(b)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f