3.1.2 第二课时 分段函数（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

3.1.2　第二课时　分段函数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例了解简单的分段函数． 2.掌握分段函数的应用． 重点 难点 重点：分段函数的概念及应用． 难点：分段函数的实际应用. 对应关系 并集 空集 答案：1 答案：B　 答案：C　 答案：C　 [对点训练] 某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 答案：C　 答案：2 答案：A　 答案：B　 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 答案：A　 答案：BCD　 答案：B　 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十六） (单击进入电子文档) 42 1．分段函数的定义 一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的_________的函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的_____；各段函数的定义域的交集是_____． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象． 4．几种常见的分段函数 (1)取整函数：f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)． (2)符号函数：f(x)＝sgn x＝ (3)含绝对值符号的函数：如f(x)＝|x－1|＝ (4)自定义函数：如f(x)＝ (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪个区间，就只能用哪个区间上的解析式来进行计算． (3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集． (4)分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合取并集；分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值，然后比较各段的最大(小)值，其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值． 1．已知函数f(x)＝则f(2)＝______. 解析：f(2)＝＝1. 2．设函数f(x)＝则f＝________. 解析：因为x＞1时，f(x)＝x2＋x－2， 所以f(2)＝22＋2－2＝4，＝. 又x≤1时，f(x)＝1－x2， 所以f＝f＝1－2＝. 答案： —————————————————————————————— 分段函数求值 —————————————————————————————————— [典例]　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(1)，f； (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]， 1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]， 知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8， f＝f＝f ＝3×＋5＝. (2)因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0， 解得a≥1或a≤－， 即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)． [拓展]　 1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 解：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3， 即a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3， 即a＝－∈(－2,2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3， 即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2. 2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围． 解：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x， 即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是{x|x<2}． 分段函数值有关问题的常见解法 (1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该区间对应的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后相应求出自变量的值，再代入检验． (3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上自变量的取值范围，再求