4.2.1等差数列的概念（第2课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第 4 章 数列 人教A版2019选修第一册 4.2.1等差数列的概念 （第2课时） 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 01等差数列实际问题 02等差数列的性质 目录 宋老师数学精品工作室 2 学习目标 1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质. 2.能用等差数列的性质解决一些相关问题. 3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题. 宋老师数学精品工作室 1.等差数列的定义： 2. 通项公式： {an}为等差数列  4. 等差数列的判断 an+1- an=d an+1=an+d   an=p n + q (p、q是常数)  an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 3.等差中项： 这三个数满足关系式： A= = d= 知识回顾 宋老师数学精品工作室 1.等差数列实际问题 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围. 分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列. 10年之内（含10年），该设备的价值不小于万元；10年后，该设备的价值需小于11万元．利用{an}的通项公式列不等式求解． 典例 宋老师数学精品工作室 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列. 因为a1＝220－d， 所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即： 解得19<d≤20.9 所以，d的求值范围为19<d≤20.9 宋老师数学精品工作室 解决等差数列实际问题的基本步骤 (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题； (2)构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3)利用通项公式解决等差数列问题； (4)将所求出的结果回归为实际问题. 宋老师数学精品工作室 2.等差数列的性质 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn} 的通项公式. (2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由. 分析：（1） {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项. 典例 宋老师数学精品工作室 解：（1）设等差数列的公差为 ∵b1, b5, b5b1 =8 ∵b5b1 , 8, , +() 2=2 所以数列的通项公式是=2 （2）数列的各项依次是数列的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则=4 3 令4 3=29, 解得: =8 所以， b29是数列的第8项 宋老师数学精品工作室 归纳总结 等差数列的性质 如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 )个合适的数， 仍然可以构成一个新的等差 数列. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例5. 已知数列 是等差数列，,且 求证: 分析：利用等差数列的中的两个基本量 ,再根据等差数列的定义 写出即可得证. 典例 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 证明：设数列 的公差为,则 +() +() +() +() 所以: , 因为 所以 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 思路： ∵, 例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 课本练习 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从