山东省青岛第五十八中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试卷

2020~2021学年山东青岛李沧区青岛第五十八中学高三上学期期中数学试卷 一、单项选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. A. B. C. D. 已知集合 ， ，则 （ ）． 2. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 已知复数 满足 ，其中为虚数单位，则复数 在复平面内对应点所在的象限为（ ）． 3. A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 某特种冰箱的食物保鲜时间 （单位：小时）与设置储存温度 （单位： ）近似满足函数关系 （ ， 为常数），若设置储存温度 的保鲜时间是 小时，设置储存温度 的保鲜时间是 小时，则设置储存温度 的保鲜时间近似是（ ）． 4. A. B. C. D. 命题 ：平行四边形的对角线互相平分，则 为（ ）． 平行四边形的对角线不互相平分 不是平行四边形的四边形对角线不互相平分 有的平行四边形的对角线互相平分 有的平行四边形的对角线不相互平分 5. A. 斛 B. 斛 C. 斛 D. 斛 《孙子算法》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈 八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多 少斛米”（古制 丈 尺， 斛 立方尺，圆周率 ），则该圆柱形容器能放米（ ）． 6. 已知点 是双曲线 的渐近线上的动点，过点 作圆 的两条切线，则两条切 线夹角的最大值为（ ）． A. B. C. D. 7. A. B. C. D. 在 中， ， ， ，则 为（ ）． 8. A. B. C. D. 定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上有 ，则 （ ）． 二、多项选择题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9. A. B. C. D. 已知 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）． 10. A.无极小值 B.有极小值 C.无极大值 D.有极大值 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给 出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能 用一个式子表示的，如函数 ，我们可以作变形： ，所以 可看作是由函数 和 复合而 成的，即 为初等函数．根据以上材料，对于初等函数 的说法正确的 是（ ）． 11. A. B. C. 函数 的部分图象如图中实线所示，图中圆 与 的图象交 于 ， 两点，且 在 轴上，则下列说法中正确的是（ ）． 函数 在 上单调递增 函数 的图象关于点 成中心对称 函数 的图象向右平移 个单位后关于直线 成轴对称 D.若圆半径为 ，则函数 的解析式为 12. A. B. 平面 C.三棱锥 的体积为定值 D. 的面积与 的面积相等 如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ， ，且 ，则下列 结论正确的是（ ）． 三、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知底面边长为 ，各侧面均为直角三角形的正三棱锥 的四个顶点都在同一球面上，则此球 的表面积 ． 14. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，且对于任意 ， ，满足 ，则 的值为 ． 15. 扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯．现有一个花灯，它 外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着它们自身的对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为 ，上顶点为 ， 米，在它的内部放有一个半径为 米的球形灯泡，球心 在轴 上且 米．若球形灯泡的球心 到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点 处取到．建立适当的坐标系可得抛 物线 方程为 ，则实数 的取值范围是 ． 16. 在平面直角坐标系 中，已知 ， ， 是 上的两个不同的动点， 满足 ，且 恒成立，则实数 最小值是 ． 四、解答题 （本大题共6小题，共70分） 17. （ 1） （ 2） 若函数 满足下列条件： 的图象向左平移 个单位时 第一次和原图象重合，对任意的 都有 成立． 求 的解析式． 若锐角 的内角 满足 ，且 的对边 ，求 的周长 的取值范围． 18. （ 1） （ 2） 设数列 的前 项和 ， ， ． 求数列 的通项公式． 设 ，求 的前 项和 ． 19. （ 1） （ 2） 在 中， ，点 在 边上．在平面 内，过 作 且 ． 若 为 的中点，且 的面积等于 的面积，求 ． 若 ，且 ，求 ． 20. 试在① ，② ，③ 三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得 面 成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题： 如图，在四棱锥 中， ，底面 为菱形，若 ，且