必考点06 添加辅助线构造全等三角形的技巧-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题（人教版）

必考点06 添加辅助线构造全等三角形的技巧 ●题型一 添加公共边构造全等三角形 【例题1】如图，AB＝AC，BD＝CD． （1）求证：∠B＝∠C （2）若∠A＝2∠B，求证：∠BDC＝4∠C． 【分析】（1）连接AD并延长至E，证明△ABD≌△ACD（SSS），即可得出∠B＝∠C； （2）由三角形的外角性质得出∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠BAD+∠C，得出∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，即可得出结论∠BDC＝4∠C． 【解答】（1）证明：连接AD并延长至E，如图所示： 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B＝∠C； （2）在△ABD中，∠BDE＝∠BAD+∠B， 在△ACD中，∠CDE＝∠BAD+∠C， ∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠CAD+∠B+∠C， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C， ∵∠BAC＝2∠B，∠B＝∠C， ∴∠BDC＝4∠C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质；证明三角形全等是解题的关键． 【例题2】如图，已知CA＝CB，AD＝BD，M，N分别是CB，CA的中点，求证：DN＝DM． 【分析】要证DN＝DM，只要证明△ADN≌△BDM即可，要证△ADN≌△BDM，需要证明∠A＝∠B，要证∠A＝∠B，只需证明△CAD≌△CBD即可，根据题目中的条件，连接CD，即可证明△CAD≌△CBD． 【解答】证明：连接CD， 在△CAD和△CBD中， ， ∴△CAD≌△CBD（SSS）， ∴∠A＝∠B， ∵CA＝CB，M，N分别是CB，CA的中点， ∴AN＝BM， 在△AND和△BMD中， ， ∴△AND≌△BMD（SAS）， ∴DN＝DM． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解答． 【例题3】（2022秋•韩城市月考）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，且AB＝AD，AC＝AE，连接CD，EB． （1）求证：∠CAD＝∠EAB； （2）试判断CF与EF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据已知利用HL可证Rt△ABC≌Rt△ADE，然后利用全等三角形的性质可得∠CAB＝∠EAD，从而利用等式的性质进行计算即可解答； （2）连接CE，利用等腰三角形的性质可得∠ACE＝∠AEC，再利用（1）的结论可得∠ACB＝∠AED，从而利用等式的性质可得∠FCE＝∠FEC，然后利用等角对等边即可解答． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）， ∴∠CAB＝∠EAD， ∴∠CAB﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD， ∴∠CAD＝∠EAB； （2）解：CF＝EF， 理由：连接CE， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴∠ACB＝∠AED， ∴∠ACE﹣∠ACB＝∠AEC﹣∠AED， ∴∠FCE＝∠FEC， ∴CF＝EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【解题技巧提炼】 当图形中直接证明全等条件不够时，有时可以连接公共边构造全等三角形，再利用全等三角形的判定与性 质解决问题. ●题型二 巧用角平分线构造全等三角形 【例题4】如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？ 【分析】过点P作PE⊥AB于E，根据垂直于同一直线的两直线互相平行求出PC⊥BC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PE，PC＝PE，从而得到PC＝PD，然后根据线段中点的定义解答． 【解答】答：点P是线段CD的中点． 证明如下：过点P作PE⊥AB于E， ∵AD∥BC，PD⊥CD于D， ∴PC⊥BC， ∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P， ∴PD＝PE，PC＝PE， ∴PC＝PD， ∴点P是线段CD的中点． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 【例题5】（2021春•酒泉期末）如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC延长线于点G．求证：BF＝CG． 【分析】连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF＝CG． 【解答】证明：连接BE、EC， ∵ED⊥BC， D为BC中点， ∴BE＝EC， ∵EF⊥AB，EG⊥AG， 且AE平分∠FAG， ∴FE＝EG， 在Rt△BFE和Rt△CGE