第十三章 轴对称 章末测试题-2022-2023学年八年级上册初二数学【新课程能力培养】人教版

１６９　 第十三章章末测试题 １．Ａ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｂ　６．Ｃ ７．垂直平分线　８．１２ｃｍ　９．７　１０．５０°或 １３０°　１１．５０°或８０°　１２．（－３，－２）　１３． （－５， １２）　１４．１５ｃｍ或１８ｃｍ　１５．７　１６．６ １７．证明：∵△ＡＢＣ，△ＣＤＥ均为等腰直角三角 形，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∴ＣＥ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＣ，∴ ∠ＡＣＢ－∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ－∠ＡＣＥ，∴∠ＥＣＢ＝∠ＤＣＡ． 在△ＣＤＡ与△ＣＥＢ中，ＢＣ＝ＡＣ，∠ＥＣＢ＝∠ＤＣＡ，ＥＣ ＝ＤＣ，∴△ＣＤＡ≌△ＣＥＢ（ＳＡＳ）． １８． （１）２５°　１１５°　小　 （２）解：当 ＤＣ＝２ 时，△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ．理由：∵∠Ｃ＝４０°，∴∠ＤＥＣ＋ ∠ＥＤＣ＝１４０°．又∵∠ＡＤＥ＝４０°，∴∠ＡＤＢ＋∠ＥＤＣ ＝１４０°，∴∠ＡＤＢ＝∠ＤＥＣ．又∵ＡＢ＝ＤＣ＝２，∴ △ＡＢＤ≌△ＤＣＥ（ＡＡＳ）．　 （３）解：当∠ＢＤＡ的度 数为１１０°或８０°时，△ＡＤＥ的形状是等腰三角形．理 由：∵∠ＢＤＡ＝１１０°时，∴∠ＡＤＣ＝７０°．∵∠Ｃ＝４０°， ∴∠ＤＡＣ＝７０°，∠ＡＥＤ＝∠Ｃ＋∠ＥＤＣ＝３０°＋４０°＝ ７０°，∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＥＤ，∴△ＡＤＥ的形状是等腰三角 形．∵当∠ＢＤＡ的度数为８０°时，∴∠ＡＤＣ＝１００°．∵ ∠Ｃ＝４０°，∴∠ＤＡＣ＝４０°，∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＤＥ，∴ △ＡＤＥ的形状是等腰三角形． １９．证明： （１）∵ＡＢ＝ＡＤ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ． ∵ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＤＡＣ＝∠Ｃ．∵∠ＡＤＢ＝∠ＤＡＣ＋∠Ｃ ＝２∠Ｃ，∴∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ．　 （２）∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＤ．∵ＢＥ∥ＡＤ，∴∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＥ， ∠Ｅ＝∠ＣＡＤ．∴∠ＡＢＥ＝∠Ｅ．∴ＡＥ＝ＡＢ． ２０．证明： （１）∵ＣＤ⊥ＡＢ，∠ＡＢＣ＝４５°，∴ △ＢＣＤ是等腰直角三角形，∴ＢＤ＝ＣＤ．∵∠ＤＢＦ＝ ９０°－∠ＢＦＤ，∠ＤＣＡ＝９０°－∠ＥＦＣ，且 ∠ＢＦＤ＝ ∠ＥＦＣ，∴∠ＤＢＦ＝∠ＤＣＡ．在△ＤＦＢ和△ＤＡＣ中， ∠ＢＤＦ＝∠ＣＤＡ，∠Ａ＝∠ＤＦＢ，ＢＤ＝ＤＣ，∴△ＤＦＢ ≌△ＤＡＣ（ＡＡＳ），∴ＢＦ＝ＡＣ．　 （２）∵ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ．在△ＢＥＡ和△ＢＥＣ中， ∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＢ，ＢＥ＝ＢＥ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ，∴ △ＢＥＡ≌△ＢＥＣ（ＡＳＡ）．∴ＣＥ＝ＡＥ＝１２ＡＣ，又∵ＢＦ ＝ＡＣ，∴ＣＥ＝１２ＢＦ． ２１．证明：（１）如图１，∵△ＡＤＥ与△ＡＢＣ都是 等边三角形，∴ＡＣ＝ＡＢ，ＡＥ＝ＡＤ，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝ ６０°．∴∠ＤＡＥ－∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＣＡＤ．即∠ＣＡＥ＝ ∠ＢＡＤ．在△ＣＡＥ和△ＢＡＤ中，∵ ＡＣ＝ＡＢ，∠ＣＡＥ＝ ∠ＢＡＤ，ＡＥ＝ＡＤ，∴△ＣＡＥ≌△ＢＡＤ（ＳＡＳ）．∴ＥＣ ＝ＤＢ；∴ＣＥ＋ＣＤ＝ＤＢ＋ＣＤ＝ＢＣ＝ＡＢ，即ＣＥ＋ＣＤ＝ ＡＢ．　 （２）ＣＥ＋ＡＢ＝ＣＤ．理由如下：如图 ２，∵ △ＡＤＥ与△ＡＢＣ都是等边三角形，∴ＡＣ＝ＡＢ，ＡＥ＝ ＡＤ，∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝６０°．∴∠ＤＡＥ－∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ －∠ＢＡＥ．即∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＤ．在△ＣＡＥ和△ＢＡＤ中， ∵ ＡＣ＝ＡＢ，∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＤ，ＡＥ＝ＡＤ，∴△ＣＡＥ≌ △ＢＡＤ（ＳＡＳ）．∴ＥＣ＝ＤＢ；∴ＣＥ＋ＡＢ＝ＤＢ＋ＢＣ＝ ＣＤ，即ＣＥ＋ＡＢ＝ＣＤ． ２２．解：（１）∵ＡＤ＝ＡＣ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ．∵ ∠ＣＡＤ＝α，∴∠ＡＣＤ＝１２（１８０°－∠ＣＡＤ） ＝９０°－ １ ２α．　 （２）过点 Ａ作 ＡＧ⊥ＢＣ于点 Ｇ，如图所示， ∴∠ＤＡＧ＋∠ＡＤＧ＝９０°．∵ＡＤ＝ＡＣ，∴∠ＣＡＧ＝ ∠ＤＡＧ＝１２∠ＣＡＤ＝ １ ２α．∵ＣＦ⊥ＡＤ于点 Ｅ，∴ ∠ＤＣＥ＋∠ＡＤＧ＝９０°．∴∠ＤＣＥ＝∠ＤＡＧ＝１２∠ＣＡＤ ＝１２α，即∠ＢＣＦ＝ １ ２α．　 （３）△ＡＣＦ是等腰三角 形．理由：∵∠Ｂ＝４５°，ＡＧ⊥ＢＣ，∴∠ＢＡＧ＝４５°．∵ ∠ＢＡＣ＝４５°＋∠ＣＡＧ，∠ＡＦＣ＝４５°＋∠ＤＣＥ，∠ＤＣＥ ＝∠ＤＡＧ，∠ＣＡＧ＝∠ＤＡＧ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＦＣ．∴ＡＣ ＝ＦＣ．∴△ＡＣＦ是等腰三角形． 第２２题答图 　 第２３题答图 ２３．证明：（１）∵ＡＤ＝ＢＤ，∴∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＡ＝ ∠ＣＢＥ＋∠ＡＢＥ．∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ＋∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＤ ＋∠ＣＢＥ＋∠ＡＢＥ．∵∠ＡＢＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＢＥ，∴ ∠ＢＡＣ＝２∠ＡＢＥ．　 （２）ＥＦ＝ＣＤ＋ＤＥ．理由如下： 过点Ｂ作ＢＧ⊥ＡＤ，交 ＡＤ的延长线于点 Ｇ．在△ＡＣＤ 和 △ＢＧＤ中， ∠Ｃ＝∠Ｇ＝９０°， ∠ＡＤＣ＝∠ＧＤＢ， ＡＤ＝ＢＤ{ ， ∴ △ＡＣＤ≌ △ＢＧＤ （ＡＡＳ），∴ＣＤ＝ＤＧ，∠ＣＡＤ＝∠ＧＢＤ．∵∠ＧＢＥ＝ ∠ＧＢＤ＋∠