第十二章 全等三角形 章末测试题-2022-2023学年八年级上册初二数学【新课程能力培养】人教版

１６８　 ＝∠ＡＢＣ－∠ＢＡＤ，又∵∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＣ，∴∠ＥＦＤ＝ ∠ＡＤＣ． ２４．解： （１）因为∠ＡＣＢ＝１８０°－ （∠ＢＡＣ＋ ∠Ｂ） ＝１８０°－ （７０°＋４０°） ＝７０°，又因为 ＣＥ是 ∠ＡＣＢ的平分线，所以∠ＡＣＥ＝１２∠ＡＣＢ．因为 ＣＤ是 高线，所以∠ＡＤＣ＝９０°，所以∠ＡＣＤ＝９０°－∠ＢＡＣ＝ ２０°，所以∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＥ－∠ＡＣＤ＝３５°－２０°＝１５°． 　 （２） １２（α－β）　 （３）∠ＤＣＥ＝ １ ２（α－β）．因 为∠ＡＣＢ＝１８０°－（∠ＢＡＣ＋∠Ｂ） ＝１８０°－（α＋β）， 又因 为 ＣＥ是 ∠ＡＣＢ的 平 分 线，所 以 ∠ＡＣＥ＝ １ ２∠ＡＣＢ．因为 ＣＤ是高线，所以∠ＡＤＣ＝９０°，所以 ∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＣ－９０°＝α－９０°，所 以 ∠ＤＣＥ＝ ∠ＡＣＥ＋∠ＡＣＤ＝９０°－１２（α＋β）＋α－９０°＝ １ ２（α －β）．　 （４）７５° ２５．（１）ＢＥ⊥ＤＦ．证明：如图１中，延长 ＢＥ交 ＦＤ的延长线于点 Ｈ．∵∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，∴∠ＡＢＣ＋ ∠ＡＤＣ＝１８０°．∵∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＮ＝１８０°，∴∠ＡＢＣ ＝∠ＣＤＮ．∵∠ＡＢＥ＝１２∠ＡＢＣ，∠ＦＤＮ＝∠ＥＤＨ＝ １ ２∠ＣＤＮ，∴∠ＡＢＥ＝∠ＥＤＨ．∵∠ＡＢＥ＋∠ＡＥＢ＝ ９０°，∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＨ，∴∠ＤＥＨ＋∠ＥＤＨ＝９０°．∴ ∠Ｈ＝９０°，即ＢＥ⊥ＤＦ．　 （２）ＤＥ∥ＢＦ．证明：如 图２，连接 ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，∠ＭＢＣ＋ ∠ＡＢＣ＝１８０°，∠ＣＤＮ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，∴∠ＭＢＣ ＋∠ＣＤＮ＝１８０°．∵∠ＣＢＦ＝１２∠ＭＢＣ，∠ＣＤＮ＝ １ ２∠ＣＤＮ，∴∠ＣＢＦ＋∠ＣＤＥ＝９０°．∵∠Ｃ＝９０°，∴ ∠ＣＢＤ＋∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＥＤＢ＋∠ＦＢＤ＝∠ＣＢＦ ＋∠ＣＤＥ＋∠ＣＢＤ＋∠ＣＤＢ＝１８０°．∴ＤＥ∥ＢＦ．　 （３）解：如图３，∵∠ＭＢＣ＋∠ＣＤＮ＝１８０°，∴∠ＣＤＥ ＋∠ＣＢＥ＝１５（∠ＭＢＣ＋∠ＣＤＮ）＝３６°．∵∠ＤＣＢ＝ ∠Ｅ＋∠ＣＢＥ＋∠ＣＤＥ，∴∠Ｅ＝９０°－３６°＝５４°． 第２５题答图 第十二章章末测试题 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｃ　５．Ｄ　６．Ｂ　７．Ａ 　８．Ｂ ９．６０°　１０．２　１１．有两边和其中一边的对角分 别相等的两个三角形不一定全等　１２．ＡＣ＝ＡＥ或∠Ｂ ＝∠Ｄ或∠Ｃ＝∠Ｅ　１３．８　１４．４８°　１５．４０°　１６．１６ １７．证明：∵ＡＥ＝ＢＦ，∴ＡＥ＋ＥＦ＝ＢＦ＋ＥＦ，即 ＡＦ＝ＢＥ．∵ＡＣ∥ＢＤ，∴∠ＣＡＦ＝∠ＤＢＥ．又∵ＡＣ＝ ＢＤ，在 △ＡＣＦ 与 △ＢＤＥ 中， ＡＣ＝ＢＤ， ∠ＣＡＦ＝∠ＤＢＥ， ＡＦ＝ＢＥ{ ， ∴ △ＡＣＦ≌△ＢＤＥ（ＳＡＳ）． １８．证明： （１）∵∠１＝∠２，∴∠１＋∠ＣＢＥ＝ ∠２＋∠ＣＢＥ，即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ 中， ＡＢ＝ＣＢ， ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ， ＢＥ＝ＢＤ{ ， ∴△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．　 （２）∵△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，∴∠Ａ＝∠Ｃ．∵∠ＡＦＢ＝ ∠ＣＦＥ，∴∠１＝∠３． １９．（１）证明：∵ＡＢ⊥ＢＤ，ＤＥ⊥ＢＤ，∴∠ＡＢＣ＝ ∠ＣＤＥ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＣＤＥ中， ＡＣ＝ＣＥ， ＢＣ＝ＤＥ{ ， ∴Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＣＤＥ（ＨＬ）．∴ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＤＥ． ∴ＢＤ＝ＣＤ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＤＥ．　 （２）解：∵Ｒｔ△ＡＢＣ≌ Ｒｔ△ＣＤＥ，∴∠ＡＣＢ＝∠ＣＥＤ．∵∠ＣＥＤ＋∠ＥＣＤ＝ ９０°，∴∠ＡＣＢ＋∠ＥＣＤ＝９０°．∵∠ＡＣＢ＋∠ＥＣＤ＋ ∠ＡＣＥ＝１８０°，∴∠ＡＣＥ＝９０°． ２０．解：∵ＭＳ⊥ＰＳ，ＭＮ⊥ＳＮ，ＰＱ⊥ＳＮ，∴ ∠ＭＮＳ＝∠ＳＱＰ＝∠ＭＳＰ＝９０°，∴∠ＭＳＮ＋∠Ｍ＝９０°， ∠ＭＳＮ＋∠ＱＳＰ＝９０°．∴∠Ｍ＝∠ＱＳＰ．在△ＳＱＰ和 △ＭＮＳ 中， ∠ＭＮＳ＝∠ＳＱＰ， ∠Ｍ＝∠ＱＳＰ， ＭＳ＝ＰＳ{ ， ∴ △ＳＱＰ≌ △ＭＮＳ （ＡＡＳ）．∴ＳＱ＝ＭＮ＝３．∴ＮＱ＝ＮＳ－ＳＱ＝４－３＝１． ２１．解： （１）结论：ＡＰ＝ＡＱ，ＡＰ⊥ＡＱ．证明： ∵ＢＤ，ＣＥ是△ＡＢＣ的高，∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＣＥ⊥ＡＢ．∴ ∠１＋∠ＣＡＢ＝９０°，∠２＋∠ＣＡＢ＝９０°．∴∠１＝∠２． 在△ＱＡＣ和△ＡＰＢ中， ＱＣ＝ＡＢ， ∠１＝∠２， ＣＡ＝ＢＰ{ ，∴△ＱＡＣ≌△ＡＰＢ （ＳＡＳ）．∴ＡＱ＝ＡＰ，∠ＱＡＣ＝∠Ｐ．而∠ＤＡＰ＋∠Ｐ＝ ９０°，∴∠ＤＡＰ＋∠ＱＡＣ＝９０°，即∠ＱＡＰ＝９０°．∴ＡＱ ⊥ＡＰ，即ＡＰ＝ＡＱ，ＡＰ⊥ＡＱ．　 （２）上述结论成立． 理由如下：如图所示，∵ＢＤ，ＣＥ是△ＡＢＣ的高，∴ ＢＤ⊥ＡＣ，ＣＥ⊥ＡＢ．∴∠１＋∠ＣＡＥ＝９０°，∠２＋ ∠ＤＡＢ＝９０°．∵∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＢ，∴