13.1.2 线段的垂直平分线的性质-2022-2023学年八年级上册初二数学【新课程能力培养】人教版

１５８　 ＡＣ＝ＢＣ，∴△ＡＣＦ≌△ＣＢＭ，∴ＣＦ＝ＢＭ，∠ＡＦＣ＝ ∠ＢＭＣ，∴∠ＣＦＥ＝∠ＤＭＣ．∵ＣＥ∥ＢＤ，∠ＤＣＥ＝ ９０°，∴∠ＣＤＢ＝９０°，∴∠ＣＤＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°．∵ＣＤ ＝ＥＣ，∴△ＣＤＭ≌△ＥＣＦ，∴ＣＦ＝ＤＭ，∴ＣＦ＝ＤＭ＝ ＢＭ，∴ＤＢ＝２ＣＦ． ９．证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＥＤＣ．在 △ＡＢＤ和 △ＥＤＣ中， ∠ＡＢＤ＝∠ＥＤＣ， ∠１＝∠２， ＡＤ＝ＥＣ{ ， ∴ △ＡＢＤ≌ △ＥＤＣ（ＡＡＳ），∴ＡＢ＝ＤＥ，ＢＤ＝ＣＤ．∴ＤＥ＋ＢＥ＝ ＣＤ．∴ＡＢ＋ＢＥ＝ＣＤ． １０．（１）证明：∵点 Ｄ是 ＢＣ中点，∴ＢＤ＝ＣＤ． 在△ＡＢＤ与△ＣＥＤ中， ＢＤ＝ＣＤ， ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＥ， ＡＤ＝ＥＤ{ ， ∴△ＡＢＤ≌ △ＥＣＤ（ＳＡＳ）．　 （２）解：在△ＡＢＣ中，Ｄ是边 ＢＣ 的中点，∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＤＣ．∵△ＡＢＤ≌△ＥＣＤ，∴Ｓ△ＡＢＤ ＝Ｓ△ＥＣＤ．∵Ｓ△ＡＢＤ＝５，∴Ｓ△ＡＣＥ＝Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＥＣＤ＝５＋５＝ １０． １１．① （或②或③）选择条件①的证明为： ∵∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，∴ＡＢ＝ＡＣ．在△ＡＢＥ和△ＡＣＤ中， ＡＢ＝ＡＣ， ∠Ａ＝∠Ａ， ＡＥ＝ＡＤ{ ， ∴△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ（ＳＡＳ）．∴ＢＥ＝ＣＤ．　 选择条件②的证明为：∵∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，∴ＡＢ＝ＡＣ． 在△ＡＢＥ和△ＡＣＤ中， ∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ， ＡＢ＝ＡＣ， ∠Ａ＝∠Ａ { ， ∴△ＡＢＥ≌ △ＡＣＤ（ＡＳＡ）．∴ＢＥ＝ＣＤ． 选择条件③的证明为：∵∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，∴ＡＢ＝ＡＣ． ∵ＦＢ＝ＦＣ，∴∠ＦＢＣ＝∠ＦＣＢ．∴∠ＡＢＣ－∠ＦＢＣ＝ ∠ＡＣＢ－∠ＦＣＢ．即∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ，在△ＡＢＥ和△ＡＣＤ 中， ∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ， ＡＢ＝ＡＣ， ∠Ａ＝∠Ａ { ， ∴ △ＡＢＥ≌ △ＡＣＤ（ＡＳＡ）． ∴ＢＥ＝ＣＤ．故答案为①ＡＤ＝ＡＥ（②∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ 或③ＦＢ＝ＦＣ）． １２．证明：∵ＢＤ⊥ＡＣ于点 Ｄ，∴∠ＥＤＦ＝９０°． ∵∠１＝∠２，∠１＋∠Ｃ＝９０°，∠２＋∠Ｅ＝９０°， ∴∠Ｅ＝∠Ｃ．在△ＤＥＦ和△ＢＣＡ中， ∠ＥＤＦ＝∠ＣＡＢ， ＤＥ＝ＢＣ， ∠Ｅ＝∠Ｃ { ， ∴△ＤＥＦ≌△ＢＣＡ（ＡＳＡ）．∴ＤＦ＝ＡＢ． １２３　角的平分线的性质 （第一课时） １．Ｃ　２．Ｄ ３．２　４．５　５．１５　６．相等 　第７题答图 ７．证明：过点 Ｐ作 ＰＥ⊥ ＯＡ，ＰＦ⊥ＯＢ，∴∠２＝∠３＝ ９０°．∵ＯＰ为∠ＡＯＢ的平分线， ∴ＰＥ＝ＰＦ．又∵∠ＯＭＰ＋∠１＝ １８０°，∠ＯＭＰ＋∠ＯＮＰ ＝１８０°，∴ ∠１＝∠ＯＮＰ． ∴△ＰＭＥ≌△ＰＮＦ（ＡＡＳ），∴ＰＭ＝ＰＮ． ８．（１）证明：∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∠Ｃ＝９０°，ＤＥ ⊥ＡＢ于点 Ｅ，∴ＤＥ＝ＤＣ．在 Ｒｔ△ＣＤＦ与 Ｒｔ△ＥＤＢ 中， ＤＦ＝ＤＢ， ＤＣ＝ＤＥ{ ，∴Ｒｔ△ＣＤＦ≌Ｒｔ△ＥＤＢ（ＨＬ）．∴ＣＦ＝ ＥＢ．　 （２）解：设ＣＦ＝ｘ，则 ＡＥ＝１２－ｘ．∵ＡＤ平 分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，∴ＣＤ＝ＤＥ．在 Ｒｔ△ＡＣＤ与 Ｒｔ△ＡＥＤ中， ＡＤ＝ＡＤ， ＣＤ＝ＤＥ{ ，∴Ｒｔ△ＡＣＤ≌Ｒｔ△ＡＥＤ（ＨＬ）． ∴ＡＣ＝ＡＥ，即８＋ｘ＝１２－ｘ，解得ｘ＝２，即ＣＦ＝２． ９．（１）如图１．　 （２）Ⅰ．ＦＥ＝ＦＤ．证明：如 图２，过点Ｆ作 ＦＭ⊥ＡＢ，ＦＮ⊥ＡＣ，ＦＰ⊥ＢＣ．∵ＡＤ， ＣＥ是∠ＢＡＣ，∠ＢＣＡ的平分线，∴ＭＦ＝ＦＮ＝ＦＰ， ∠ＡＦＣ＝∠ＥＦＤ＝１２０°，∠ＭＦＰ＝１２０°．∴∠ＥＦＭ＝ ∠ＰＦＤ．∴△ＥＦＭ≌△ＰＦＤ．∴ＥＦ＝ＤＦ．　Ⅱ．成 立．证明：如图３，过点Ｆ作三边的垂线．∴ＦＭ＝ＦＮ ＝ＦＰ，∠１＋∠２＝９０°－１２∠Ｂ＝６０°，∴∠ＡＦＣ＝ ∠ＥＦＤ＝１２０°．∵∠ＭＦＰ＝１２０°，∴∠ＥＦＭ＝∠ＰＦＤ． ∴△ＥＦＭ≌△ＰＦＤ．∴ＥＦ＝ＤＦ． 图１ 　　 图２ 第９题答图 １０．槡３ １１．证明：如图，连接 ＡＣ，在△ＡＥＣ与△ＡＦＣ 中， ＡＣ＝ＡＣ， ＣＥ＝ＣＦ， ＡＥ＝ＡＦ{ ，∴△ＡＥＣ≌△ＡＦＣ（ＳＳＳ）．∴∠ＣＡＥ＝ ∠ＣＡＦ．∵∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，∴ＣＢ＝ＣＤ． 第１１题答图 １２３　角的平分线的性质 （第二课时） １．Ｂ ２．６∶５∶３ ３．证明：如图，作 ＰＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，∵ＢＰ是 １５９　 △ＡＢＣ的外角平分线，ＰＭ⊥ＡＢ，ＰＤ⊥ＢＣ，∴ＰＭ＝ ＰＤ，同理，ＰＮ＝ＰＤ．∴ＰＭ＝ＰＮ．又ＰＭ⊥ＡＢ，ＰＮ⊥ ＡＣ，∴ＰＡ平分∠ＭＡＮ． 第３题答图 　　　 第４题答图 ４．证明： （１）∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝ １８０°．∵ＡＭ平分∠ＢＡＤ，ＤＭ平分∠ＡＤＣ，∴２∠ＭＡＤ ＋２∠ＡＤＭ ＝１８０°．∴ ∠ＭＡＤ＋∠ＡＤＭ ＝９０°．∴ ∠ＡＭＤ＝９０°，即 ＡＭ⊥ＤＭ．