第7章 第2节 空间点、直线、平面的位置关系（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　空间点、直线、平面的位置关系 1　借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2　了解可以作为推理依据的基本事实和定理. 3　能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 知识梳理 1．四个基本事实及三个推论 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (1)两条异面直线不能确定一个平面；(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线． (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(． 3．直线与平面的位置关系 有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系 有平行、相交两种情况． 5．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 学霸笔记 1．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 进阶诊断 1．判断正误 (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　×　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　√　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　×　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　×　) 2．(必修第二册·P128T2改编)下列命题错误的是(　B　) A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．平行四边形可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 3．(多选)(必修第二册·P131T3改编)下列命题中错误的是(　ABC　) A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点 4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　C　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°. 5．(必修第二册·P132T5改编)四面体各面所在平面将空间分成15部分． 6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为3． 解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有且只有3对． 　平面的基本性质 自主练通 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　D　) 解析：A，B，C中四点一定共面，D中四点不共面． 2．在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　B　) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC. 3.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是共线． 解析：∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈CD，∴O，