第6章 微专题系列23 数学运算——求解数列问题的四大常用技巧（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

微专题系列之数学运算——求解数列问题的四大常用技巧 　整体利用数列的性质 等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题时可以不必求出每个量，从整体上使用公式. 等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 [思维过程] 明确目标→求a9＋a11＋a13＋a15的值. 提取信息→{an}为等比数列，且a1＋a3＝8，a5＋a7＝4. 建立联系→(方法一)利用等比中项求解；(方法二)寻找a1＋a3与a5＋a7之间的联系，得q4，进而求值. 规范解答→(方法一)因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2，同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝＝＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. (方法二)设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝＝＝. 又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×()2＝2，a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×()3＝1， 所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. 答案：C 　奇偶项分类 当题中涉及(－1)n或数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时，按照n为奇数和偶数分别求解，最后再整合求解结果. 若数列{an}的通项公式为an＝22n＋1，令bn＝(－1)n－1·，则数列{bn}的前n项和Tn＝________. [思维过程] 明确目标→求{bn}的前n项和Tn. 提取信息→已知{an}的通项公式及bn的通项公式. 建立联系→利用对数运算，化简数列{bn}的通项公式，分n为奇数、偶数裂项求解. 规范解答→由题意得 bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1(＋)， 当n为偶数时，Tn＝(＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－； 当n为奇数时，Tn＝(＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝＋. 所以Tn＝－(－1)n. 答案：－(－1)n 　构造新数列 当出现an＝an－1＋m(n≥2)时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y(n≥2)时，构造等比数列. (1)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，求数列{an}的通项公式. (2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式. [思维过程] 明确目标→求{an}的通项公式. 提取信息→已知{an}相邻两项之间的递推关系. 建立联系→将已知递推关系变形，构造新数列，再利用待定系数求解，得数列通项公式. 规范解答→(1)由an＋1－4an＝3×2n＋1得，－＝3，设bn＝，则bn＋1＝2bn＋3，设bn＋1＋t＝2(bn＋t)，所以2t－t＝3，解得t＝3，所以bn＋1＋3＝2(bn＋3)，所以＝2，又b1＋3＝＋3＝1＋3＝4，所以数列{bn＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－3，所以an＝bn·2n＝(2n＋1－3)×2n＝22n＋1－3×2n. (2)因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3(＋t)，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3(＋)， 又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以＋＝×3n－1＝， 所以an＝. 　归纳推理——周期性 解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律. 在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 020＝________. [思维过程] 明确目标→求{an}的前2 020项和. 提取信息→已知{an}相邻两项之间的递推关系. 建立联系→由数列的前几项归纳出数列的周期性，利用周期性求和. 规范解答→由a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，得a2＝a1＋cos 2π＝1＋1＝2，a3＝－a2＋cos 3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos 4π＝－3＋1＝－2，a5＝－a4＋cos 5π＝2－1＝1，… 由此可知，数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2，所以S2 020＝505(a1＋a2＋a3＋a4)＝505×(－2)＝－1 010. 答案：－1 010 学科网（北京）股份有限公司 $