4.3.2 等比数列的前n项和公式（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

4.3.2 等比数列的前n项和公式 一、等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 二、等比数列前n项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 三、等比数列前n项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。 四、等比数列前n项和运算的技巧 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。 题型一 等比数列前n项和与基本量 【例1】已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则 （ ） A．31 B． C．31或5 D．或5 【答案】B 【解析】因为是首项为1的等比数列，是的前项和，且 当时，，计算得 所以 当时，，，所以 综上：故选：B 【变式1-1】已知递增的等比数列中，，，则（ ） A．25 B．31 C．37 D．41 【答案】B 【解析】设等比数列的首项为，公比为， 则①， ②， 由①②得， 解得或， 即（不满足单调递增，舍去）或， 所以.故选：B 【变式1-2】已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】因为， 所以 设公比为q，可得：， 两式相除得：故选：A 【变式1-3】设等比数列的前n项和为，若，且，则__________. 【答案】 【解析】因为是等比数列，所以有， 所以，所以， 因为， 所以，即， 即：，解得：. 故答案为：. 【变式1-4】设等比数列的前n项和为． （1）若公比，，，求n； （2）若，求公比q． 【答案】（1）6；（2）1或 【解析】（1）依题意， 由于，所以两式相除得， . （2）依题意，即， ，解得或. 题型二 等比数列片段和性质及应用 【例2】已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ） A． B． C．12 D．15 【答案】C 【解析】由等比数列的性质可得也为等比数列， 又，故可得， 即，解得或， 因为等比数列各项为正，所以，故选：C 【变式2-1】设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且也成等比数列， 因为，，所以， 所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1， 即，所以.故B，C，D错误.故选：A. 【变式2-2】等比数列的前n项和为，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且为等比数列， 故为等比数列， 故，解得，故选：B. 【变式2-3】设等比数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为数列为等比数列，则，，成等比数列， 设，则，则， 故，所以，得到， 所以.故选：C. 【变式2-4】设为等比数列的前项和，且则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为等比数列的前项和， 所以，，，成等比数列， 因为，， 所以公比，所以，， 所以， 所以，故选：A. 题型三 等比数列奇偶项和的性质应用 【例3】已知等比数列中，，，，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， 则， 即， 因为，所以， 则， 即，解得，故选：B. 【变式3-1】已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，， 所以，故选：C． 【变式