必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题（人教版）

必考点05 角平分线的性质与判定 ●题型一 角的平分线的性质的应用 ★★★1、解决求线段长问题 【例题1】（2021春•东港市月考）△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离． 【分析】根据题意求出CD的长，根据角平分线的性质得到答案． 【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64， ∴CD28， ∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝28． 答：D到AB的距离为28． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【例题2】（2022•湖北模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，作∠CAB的平分线AP交BC于点D．若AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为 　 ． 【分析】过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DH＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DH＝CD， ∴S△ABDAB•DH10•DH＝20， 解得DH＝4， ∴CD＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键． 【例题3】（2022春•陈仓区期末）如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，AB＝4，△ABD的面积是4，则DE的长是（　　） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【分析】过D作DF⊥BA交BA的延长线于F，根据三角形的面积公式得到DF＝2，根据角平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：过D作DF⊥BA交BA的延长线于F， ∵AB＝4，△ABD的面积是4， ∴DF＝2， ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC， ∴DF＝DE＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． ★★★2、解决周长问题 【例题4】（2021秋•晋江市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CE，AD＝AC＝3，再根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D， ∴DE＝CE，AD＝AC＝3， ∵△ABC的周长为12， 即AB+BC+AC＝AD+BD+BE+CE+AC＝12， ∴3+BD+BE+CE+3＝12， ∴BD+BE+CE＝6， 即BD+BE+DE＝6， ∴△BDE的周长为6， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【例题5】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC， 已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． 【分析】根据角平分线的性质可证∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE＝DF，即可解题． 【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠C， ∴BD＝CD， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∴△DFC的周长＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12． 【点评】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE＝DF是解题的关键． ★★★3、解决最值问题 【例题6】（2022秋•东台市校级月考）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点．若PD＝5，则PQ的最小值为（　　） A．PQ＜5 B．PQ＝5 C．PQ＞5 D．以上情况都有可能 【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ＝PD． 【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA， ∴PQ＝PD＝5， 即线段PQ的最小值是5． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并判断出角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ＝PD是解题的关键． 【例题7】（2022秋•盐都区月考）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM可能的值为（　　） A．1 B．1.5 C．1.8 D．2.5 【分析】过P点作PH⊥OC于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝