4.3.1 等比数列的概念（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

4.3.1 等比数列的概念 一、等比数列的定义及通项公式 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 2、对等比数列概念的理解 （1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项； （2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列； （3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列； （4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比； （5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。 3、等比数列的通项公式 （1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：. （2）通项公式的变形：或 二、等比中项 1、定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项． 此时，，即等比中项有两个，且互为相反数． （2）时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方， 即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。 三、等比数列的性质 1、“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， 即，，，…仍是等比数列，公比为 2、等比数列的运算性质 在等比数列中，若，则； （1）特别地，时，； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 3、两等比数列合成数列的性质 若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数， 则数列、、也是等比数列； 四、等比数列的判定方法 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列. 五、等比数列常用的两种解题方法 1、基本量法（基本方法） （1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解； （2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁。 2、性质法（利用等比数列的性质解题） （1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量。 题型一 等比数列的定义与判断 【例1】下列各组数成等比数列的是（ ） ①，，， ②，，， ③，，， ④，，， A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列； ③当时，不是等比数列； ④首项为，公比为，是等比数列， 所以①②④成等比数列，故选：C. 【变式1-1】下列数列一定是等比数列的是（ ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【答案】D 【解析】对于A，，，故不是等比数列； 对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列； 对于C，当时，不是等比数列； 对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列．故选：D． 【变式1-2】等比数列的公比，中有连续四项在集合中，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为等比数列中有连续四项在集合中， 所以中既有正数项也有负数项， 所以公比，因为，所以，且负数项为相隔两项， 所以等比数列各项的绝对值单调递增， 按绝对值排列可得， 因为，，，， 所以是中连续四项，所以，故选：C. 【变式1-3】已知数列的通项公式为，则（ ） A．数列为等差数列，公差 B．数列为等差