专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类 目录 【题型一】保和函数：f（a+b）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性 2 【题型二】类对数积函数：形如f（axb）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性 5 【题型三】类指数函数：形如f（a+b）=f（a）f（b）单调性 8 【题型四】类对数商函数：形如f（a/b）=f（a）-f（b）单调性 10 【题型五】类线性函数：f（a-b）=f（a）-f（b）单调性与奇偶性 12 【题型六】保积函数：f（a*b）=f（a）*f（b）单调性与奇偶性 13 【题型七】恒“截距”线性函数：f（a+b）=f（a）+f（b）-1单调性 16 【题型八】形如f（a*b）=f（a）+f（b）+t单调性与奇偶性 18 【题型九】形如f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）奇偶性 20 【题型十】形如f（a）+f（a）=f（）单调性与奇偶性 22 【题型十一】形如f（a）+f（a）=单调性与奇偶性 26 【题型十二】形如f（a-b）=单调性与奇偶性 28 【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 29 综述 1、 赋值思维： 抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧： （1）.第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等 （2）.第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取。. （3）.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。 二、抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧 证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等 3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 三、抽象函数判断或者证明单调性的思维和技巧 证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” （2）.构造“积” （3）. 利用构造, （4）.利用奇偶性（主要是奇函数）构造， 这类题，变化较大，给学生讲透彻构造的目标和构造的思维以及借助构造来推导处定义的过程，可以借助不同的抽象函数式子来灵活推导。 四、抽象函数判断或者恒成立求参或者解不等式的思维和技巧 恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或 恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 如果涉及到多元： ①按照题意分清主次元，确定降元次序； ②考察指定元所对应的函数关系； ③由特定元的范围，建立不等式（组）. 【题型一】保和函数：f（a+b）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性 【典例分析】 若函数对任意，恒有． （1）指出的奇偶性，并给予证明； （2）如果时，，判断的单调性； （3）在（2）的条件下，若对任意实数x，恒有．成立，求k的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在R上单调递减，证明见解析；（3） 【分析】（1）利用赋值法求出，根据函数奇偶性定义即可证明； （2）根据函数单调性定义即判断函数的单调性； （3）结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，即可得到结论 【详解】（1）为奇函数； 证明：令，得，解得： 令，则， 所以函数为奇函数； （2）在R上单调递减； 证明：任意取，且，则， 又，即 所以在R上单调递减； （3）对任意实数x，恒有等价于成立 又在R上单调递减， 即对任意实数x，恒成立， 当时，即时，不恒成立； 当时，即时，则，解得： 所以实数k的取值范围为 【提分秘籍】 基本规律 形如f（a+b）=f（a）+f（b） 奇偶性： （1）赋值求特殊值：令，得，解得： （2）赋值构造奇偶性定义：令，则， 单调性： （1）以单调性定义法证明为目标赋值：任意取，且，则， （2）赋值构造单调性定义结构：，即 【变式训练】 1.设函数对任意的实数，，都有，且时，，. （1）求证：是奇函数； （2）试判断函数单调性； （3）试问当时，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）单调递增函数；（3）有，最大值4，最小值. 【分析】（1）令得，再令得，即得解； （2）利用证明函数单调性即可； （3）利用函数的单调性求解函数最大值，最小值. 【详解】（1）证明：依题意令，得，即， 令得，∴， ∴是奇函数. （2）单调递增函数，理由如下： 任取，设，则，由已知可得， ∵， ∴，∴在是单调递增函数. （3）有最大值4，最小值. 由（2）知在区间上是增函数. 又，， 当时，，. 【点睛】方法点睛：本题考查了抽象函数的性质，对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义，应该构造出并与0比较大小，考查了学生综合分析，转化与划归